スキーの力学，最適停止ゲーム，数独の数理，キューブパズル（４年ゼミ）

本日は已む無き理由により16:30に大学を出ねばならないので，早めにゼミ開始．

一人目，最適停止ゲーム．
元となった論文でどうしても計算が合わなかった部分，どうやら当人が再度計算して
やはり正しかったと確認．そして問題はここから．
２枚カードゲーム版に拡張しようとする際，
どうしてもある種の不等式の安定性が示されねばならない．
しかし際どいところでそれが証明できない．
差し当たり，数値計算で正しいかどうか確認しようということになった．

二人目，スキーの力学．
参考論文と逆行して２本足スキーから１本足スキーに戻して力学モデルを構築している．
お蔭でかなりの部分がはっきりしてきた．
あとはまず数値解析を行ってどの程度スキーが再現できているか見るところまで行けそうだ．

三人目，数独の数理．
四独のパターンを四独に作用する群で実際に分類しよう，という試み．
闇雲にパターンを探してもきりがなく，
先にある程度群を確定してから，と行きたいところだ．
幸い，一ブロックを固定すれば全パターンは24．
これならBurnside lemmaを具体的に見せられるだろう．

「数独」を数学する -世界中を魅了するパズルの奥深い世界-

四人目，キューブパズル群．
いつの間にかたくさんの結果が積みあがってそれなりの形になってきた．
本日は卒論の構成見直しに注力．
そうそう，これは図が無いと全く伝わらないので描かねばね．

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

数理音楽，待ち行列（３年ゼミ）

一人目，数理音楽．というより，まだ音楽理論の初歩の話．
音楽の話になるとついついあれこれ話したくなってしまい，
発表者そっちのけになってしまうのがまずい．
気を付けないといつまでも音楽理論の入り口をウロウロして時間を潰してしまうので，
どう音楽を数学的に扱うのか，あるいは音楽のどんな側面を数学で見るのか，
を当人によく見定めていってもらわねばなるまい．

二人目，待ち行列．
前回までは一般的枠組みの説明に終始，本日ようやく様々な量の関係に至る．
後半はポアソン過程からポアソン分布の導出．
また，例によってアクティブラーニング状態に．
どうやらこれがこの代のスタイルになるようだ．良いんじゃない．

例題でわかる待ち行列理論入門

数理音楽，出会いの数理（４年ゼミ）

一人目，数理音楽．
三度堆積三和音が三度堆積四和音にmaximal evenに埋め込まれていること，
そのできるだけ綺麗な証明を目指した．
これは一般に互いに素なL＜M＜Nについて
LがMにMEでかつMがNにMEであるとき，LがNにME埋め込みであることの
何らかの特徴付けにつながるのだろうとは思っている．
さて，ここらで一度これまでの話をまとめ直してから，その先へ進もう．
というわけで卒論編集へ．

二人目，出会いの数理．
こちらも一旦，形を整えてからその先へ．
ということで卒論直しに終始した．
それにしても英語直訳のままではちょっと使えない．

タイミングの数理―最適停止問題 (シリーズ「現代人の数理」)

スキーの力学，最適停止ゲーム，数独の数理，キューブパズル（４年ゼミ）

一人目，スキーの力学．LaTeX打ち．
これまでのところの原稿ができあがってきたらその先を見ることとしよう．

二人目，最適停止ゲーム．
前回解決したかのように見えた1枚カードゲームの利得計算が間違っていたことが発覚．
おかげで二枚カードまで影響せずにすんだ．しかし実際の計算結果次第で
話の複雑さは変わってくるのだが，さてどんな結果に．

三人目，数独の数理．
Burnside's Lemmaの証明を一緒に見た．
そうとう噛み砕いて説明したのだけど，当人にどこまで伝わったことだろうか？
いずれにせよ，お話になってしまっている卒論を如何に卒論にするか，だ．

「数独」を数学する -世界中を魅了するパズルの奥深い世界-

四人目，キューブパズル．
毎度混乱の沼に落ちるこの話，それでも少しずつ結果を積み上げてきて，
本日振り返ってみたらある程度の形にはなりそうに思えてきた．
要するにあとは書き様なんだろう．ここからが腕の見せどころではある．

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

マッチングの数理，天体力学（３年ゼミ）

一人目，マッチングの数理．
今回はTop Trading Cycle(TTC)アルゴリズムについて．
具体的に目に見える話なので，極自然にアクティブラーニング状態に．
この話も突き詰めれば色々と面白いはずなんだけど，何だか気に入らないらしい．
当人はどこへ向かいたいのだろうか...

マーケットデザイン入門―オークションとマッチングの経済学

二人目，今日はケプラーの法則へ．
観測データから得られた事実からケプラーが長い年月をかけて見つけた法則たち．
この導出の様子をずっと話してもらった．
面積速度一定から徐々に議論を深めていって，そして中心力の存在へ迫っていく．
こうしてニュートン力学の一歩手前までいくわけだ．
さて，次は何をするのだろう．

天体と軌道の力学

あれ，気付いたら今日は発表が二人だけとなった．

数理音楽，出会いの数理（４年ゼミ）

一人目，数理音楽．J表現とTonnetzをめぐる調性音楽の理解，
それは例えば典型的なコード進行を数理的に分析するという形で理解する，
そんな試みをしてきたわけだ．
もうここでこれまでの話をきちんとまとめよう．話はそれからだ．

二人目，出会いの数理．こちらもある程度の形まで来た．
だからまとめてもらう他ない．
今回は先週未解決だった確率計算の理解に徹した．
ようやく腑に落ちる解決となったわけだから，まとめに入ろう．

タイミングの数理―最適停止問題 (シリーズ「現代人の数理」)

スキーの力学，最適停止ゲーム，数独の数理，キューブパズル（４年ゼミ）

一人目，スキーの力学．
どうもこちらがなかなか話に深入りできずにいたスキーの力学，
今日は改めて全体像を眺めてちょっと見えた．
少なくとも一本足スキーだった場合のモデル化は今日のもので良さそう．
さて次はこれを何らかの方法で数値解析することだ．
もちろん微分方程式を眺めて定性的な理屈を考えることもできよう．
いずれにしてもまずは一山超えた．

二人目，最適停止ゲーム．
カード二枚の場合にゲームを拡張しようとしてゲームが非対称化した先週．
今回はもう一度事態を見直して，さしあたり相手の1枚目カードが既知だとして
ゲームの分析を行うことに．
利得に単調性があると分かれば議論は一気に進めるのだが，果たして．

三人目，数独の数理．
数独を保存する変換を決定する論文を読み始めて二回目．
見てみると非常に素朴な議論だけで決定できることが分かる．
これで変換群は定まった．お次は数独盤の群論的な分類だ．
Burnside Lemma に従って分類してみよう，ということだ．

「数独」を数学する -世界中を魅了するパズルの奥深い世界-

四人目，キューブパズル群．
色々と停滞しているのでまずはこれまで決定できた群を並べる．
改めて考えてみたら，新たに一つCheese cake型のパズル群について決定できた．
一方で以前から気になっていた，パズルの持ち方による見かけ上の違いが
群に入ってしまっているかどうかについての議論でパンクする．
冷静に考えるとやはり1ピースだけは固定しないと，
持ち方の違いを区別してしまう群になっていることは確定した．
もう，あとはきちんと一度まとめよう．話はそれからだ．

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

天体力学，音楽心理，迷路，トポロジカルインデックス（３年ゼミ）

一人目，天体力学．
久しぶりに天体の話題をやる学生が現れた．
本日は楕円の様々な表示法とそれにまつわる関係式の導出．
次回ケプラーの法則へ．

天体と軌道の力学

二人目，音楽心理．
どう数学になるのか全く未知の世界へ行こうとしている．
とりあえずは好きなようにやってもらおう．
ちょうどこちらも音響心理・音楽心理について学ぼうと思っていたところだ．

三人目，迷路．
この話，気を付けないと路頭に迷う．迷路だけに．
本日は迷路の作成法その２，壁伸ばし法．でその説明だけで終わった．
もうちょっとやっておこっか．

四人目，トポロジカルインデックス．
フィボナッチタイプの数列の準備．
行列表示してそこから一般項を出す下りでは，
ちょうど線形代数の話題となり，全員であれこれ言い合って導く，
「アクティブラーニング」的な展開となった．
しかし，最後の五角形の話，教採に出る程度の話だぞ．

トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

数理音楽，出会いの数理（４年ゼミ）

一人目，数理音楽．
どうやらTonnetzが出てきた辺りから当人の考察が深まってきたようで，
楽典で本人が学んだことと数理音楽とが上手く合い始めてきた．
ずっと五度進行の「わけ」について無理やり考えようとしてきたのだが，
和音の距離を適切に測る方法を決め，それを元にスムーズな和音進行を定義し，
一方でMaximal Evenの制約下での和音たちを眺めると，
幾つかの組合せ論的結果として確かに五度進行が現れてくる．
幸運にもtriadが7thにmaximalに埋め込まれると同時に
音を変えることなく7音音階にも埋め込める，その事実が利いているらしい．
さてさてようやく形が見え始めたのではないだろうか．

二人目，出会いの数理．
先週はどういうわけだが眠気が去らずあまり進められなかったのだが，
今日は色々不明だった点が一気に片付く．
これで出会いの回数がランダムな場合にも対応できる話になった．
さて，これまでのものを一度卒論としてまとめよう．
話を拡げるのはその後だ．

タイミングの数理―最適停止問題 (シリーズ「現代人の数理」)

スキーの力学，最適停止ゲーム，数独の数理，キューブパズル（４年ゼミ）

一人目，スキーの力学．様々な理由によって混迷を極める．
何とか手の内に収まる力学モデルを作りたいわけだが，
こちらも時間が無く，このところ週一の考察しかできないためなかなか進まない．
ところで今思ったのだが，スキー板にかかる摩擦をわざわざ板全体に亘る積分で表しても，
結局扱うのは積分結果の数値なのだから初めから質点の運動と思えば良いじゃないか．
回転運動についても同じだ．となると...

二人目，最適停止ゲーム．
前回勢いでカード２枚にしたならば，という流れを作って考察してきてもらうことにしたのだが，
実際にゲームの利得行列を書き下して考えるとたくさんの困難にぶつかることが分かった．
ゲームが非対称になるからだ．だからそれでも先に進むのか，
対称なゲームになるようなしかし現実的なゲームを何とか考案するか．
当人に任せよう．

三人目，数独の数理．
前回Burnside lemmaを持ち出して数独あるいは四独のパターンを数え上げることを始めた．
今日は落ちていた論文を見てきてもらう．
何しろ論文を直訳してくるものだから訳が分からない話になるので，
途中まで解説がてら読み進めてみた．
状況はつかめただろうから，後半は自力で理解してきてもらうことに．
うん，ちょっとは書けそうな話になりつつある．

「数独」を数学する -世界中を魅了するパズルの奥深い世界-

四人目，キューブパズル．
球の中心を通る平面で切断された立体のパズルの群を追い続けて１年．
上手く群が決定できたものもあれば未完のものもある．
何か統一的に理解できたか，といえば今のところ大きなものは無い．
それでも毎回手作業で置換の計算を続けてくる粘りは大したものだ．
そろそろ何か決定打が出ないものかなぁ...

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

迷路の数理，トポロジカルインデックス，待ち行列，マッチング（３年ゼミ）

諸々の事情によって初回が伸びに伸びた３年ゼミ．
「何を話せばいいの？」という初回のみの戸惑いもお約束．
それでは始めて行こう．

一人目，迷路の数理．ただその前に読んでいた本からの話題も紹介．
まず有名な142857の話を始めた．例えば1÷7の筆算を詳細に見れば，
実はそこに初等整数論で学んだフェルマーの小定理が隠れている，
ってな補足を付けて「小学算数でも整数論ができる」といった話をしてみた．
迷路についてはとりあえずちょうど良いテキストもないので，
過去に粘菌で迷路探索する話を卒論でやったので，それを渡しておいた．
今日は迷路の作り方について．

大人の算数 子どもの数学―「不思議な数」と「美しい図形」の世界

二人目，トポロジカルインデックス．
これは以前から気になっている有機化学の先生が唱える理論．
随分と大胆なネーミングなのだが，フィボナッチと異性体数とピタゴラス数が
互いに関連しあってるって話．今日はフィボナッチ．

トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

三人目，待ち行列．
今日はとにかくできるだけ一般的な枠組みでの初期設定を行う．
しかし一回では足りず，次回へ．
これはこれで至る所に見られる現象だから，
広げようは幾らでもあるのだが，本質的に面白い話にどうできるか，は
本人の力量による．さてさて．

例題でわかる待ち行列理論入門

四人目，マッチング．
部屋割りの話や男女マッチングの話は過去に2年続けて行った．
久しぶりにこの世界に戻る．
今度は整数計画法の枠組みでやってみるのも良いかもしれない．
しかし当人，ちょっと「これじゃない感」を持ってるらしく，
当面はあまり乗っからないことにしよっと．

マーケットデザイン入門―オークションとマッチングの経済学

数理音楽，出会いの数理（４年ゼミ）

一人目，数理音楽．
TonnetzをJ関数で見るとどうなるか，という素朴な疑問から始まった今週の報告．
そもそもTonnetz自体，よく見ると音楽的な色々な性質が集約されている．
長短３和音あり，7thも9thもあり，diminishもAugmentedもあり．
そしてスムーズな和音進行がコンパクトに表現可能となる．
まぁ，こんな良い性質があるものだからHugo Riemannは音楽に
Transformationの視点を組み込んできたわけだ．
５倍音と３倍音で軸を作って音を並べた．
それだけのことだが，そこに調性音楽の多くが組み込めている．
色々な音楽的イディオムをこのTonnetz上の変換としてまとめてきてもらうこととした．

二人目，出会いの数理．
そもそも出会う人数自体，予め分かるものではないからそこも確率変数にしよう，
という話の流れになっての初回．
で，やっぱり確率論的な文脈での数式導出に悪戦苦闘．
何だか納得できない箇所も残しながら，差し当たり先へ進むことに．

タイミングの数理―最適停止問題 (シリーズ「現代人の数理」)

スキーの力学，最適停止ゲーム，数独の数理（４年ゼミ）

一人目，スキーの力学．
できるだけモデルを簡単にして，核となる微分方程式を見つける作業．
まずは一本スキーにモデルを戻して，連立を解くに必要な微分方程式を作ること．
運動方程式からは３成分，３つが得られる．
そして一本スキーにすると未知数は４つ．あとは回転の運動方程式といったところか．
色々と不安はある．しかし，まずは一つ作り上げねば．

二人目，最適停止ゲーム．
前回ほぼ一枚カードゲームについては決着がついた．
そこでこれからはオリジナルのゲームで話を広げようとしている．
例えば２枚カードゲームで，１枚目の相手のカードは分からない，とすると
かなり通常のカードゲームの形に近くなろう．
しかし情報不完備ゲームとなるわけで，確率変数が一つ増える．
それだけですることは一気に難しかくなるように見えるのだが，さてどうなることか？

三人目，数独の数理．
結局盤面の数え上げも最後は計算機に頼ることになるので，数学的な面白味はない．
もうそういうことであれば，288通りと盤面の数え上げのできる四独全体に作用する
変換群の構造を調べようか，となった．
ここにきてようやくちょっぴり大学の数学っぽくなる．
Burnside Lemmaでどれくらい話が広げられるだろうかね．

「数独」を数学する -世界中を魅了するパズルの奥深い世界-

数理音楽，出会いの数理（４年ゼミ）

一人目，数理音楽．
完全に問題を何にすべきかで路頭に迷っている今日このごろ．
J関数で和音の隣接関係のグラフを書くとどうか，との提案に
素直に作業を進めてきたものの，特別に何かが見つかる様子も見えない．
モードを変えるとdiatonicは五度（7半音）シフトする．
一般のc個中d個ならどうなる，という数学の問題にはできるものの，
音楽的意味へ迫るものでもない．さてさて．

二人目，出会いの数理．
前回一様分布で展開できた話を一般の分布で見てみよう，という回．
やってみると全てが平行に進む．最後の最適行動に関わる解の列が
分布によって変わりうるだけ，とな．
もちろん一様分布に比べて現実問題の分布では比較してどうか，
といった定性的な議論はできる．
まだまだ時はあるし，この後話をどう広げていくかね．

タイミングの数理―最適停止問題 (シリーズ「現代人の数理」)

スキーの力学，最適停止ゲーム，数独の数理，キューブパズル（４年ゼミ）

一人目，スキーの力学．
前回は撃力のみの考察によるエッジ角とスキーの回転角度の関係が出ていたのだが，
これを実際に曲線として実現したいなぁ，とボヤーッと思っていた．
が，今日も論文の解読から始まる．しかし色々と不明かつ不安な点があって，途中から頓挫．
こちらも落ち着いて考える時間があれば良いのだが，この所そうもいかない．
何とか自力で形になるものを見つけて欲しいのだが，なかなか．

二人目，最適停止ゲーム．
簡単なカードゲームの最適戦略を検討中．
前回ちょっと参考論文を真似して手を動かして見たら結果らしいものに近づいた．
今日はその詳細を詰めてきてもらった．そしてほとんど解答に近づいたが，
最後の最後，どうも論文が違っているようで修正して，無事着地．
この話の真似をすればもう少し現実のカードゲームに近いモデルが作れそう．
ようやく見えてきたかな．

三人目，数独の数理．
前回は数独の全パターン数を数えたと称する論文を読み始め見てきてもらった．
が，残念なことに全てが数式上で出たわけでなく，肝心な部分はコンピュータによる探索に．
まぁ，予想されたことではあるが，それではこれをどう卒論にしようか．
一方で，当初から頭にある，数独の難しさの定量化を考えるというのも問題としてはあるのだが，
これには数独を解く手順の研究が先決に思える．さて．

「数独」を数学する -世界中を魅了するパズルの奥深い世界-

四人目，キューブパズル群．
一進一退を繰り返すこの話．ひたすら置換の計算を力づくで行って群を決定してきたが，
そろそろ別のアプローチがないと，これ以上は進展しない．
前回は同一色で塗りつぶして問題を簡単にする，というアイディアが出た．
ということは塗りつぶす前の群と後の群とでは当然準同型があるわけで，
何らかの群拡大として得るわけにはいかないものだろうか，という提案をしてみた．さて．

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

で，本日はこの後，３年ゼミ生歓迎会，ってことで露菴へ．
www.good-promise.co.jp

知立呑み，自分は車なので呑まず食に勤しむ．
露菴は一品一品が美味いので飲まなくても楽しめる．
しかし，こうしたイベントがめっきり減ったのも
自分自身にかつての元気さが無くなったことが大きいと感じる今日この頃．

さて，これで後は
年末にかけての猛ダッシュしかありませんね．