一人目，というか皆実習中だから一人だけ，出会いの数理． 何とか教採までに一山越えておこうと，前回解決しなかった部分に再度アタック． とりあえずテキストにあるものは置いといて，今一度素朴に向き合ってみる． 普通，どう求めようとするか？と自分のテ…

一人目，数理音楽． 実はピアノを弾きながらの議論となって何も書かなかったので写真は無し． これから実習・教採としばらくゼミがなくなるので，これまでの数理音楽の議論を振り返り， 「何を解明したいと考えているか」について議論した． 特に「ドミナン…

一人目，キューブ群． 前回2×2×2では持ち方の違い分だけ同一視せねばならないから， という理由で持ち替え方を表す群を探すこととなったが， 本日改めて見てみると当初のアイディアのS4で良いのだと分かる． で，気を良くしてもっと簡単なパズル2×2に戻った…

一人目，数理音楽． 一度音楽理論そのものに立ち戻って考えようということで， 楽典から機能和声理論を読み解くこととした． Tonic,Dominant,Subdominat三つを見るだけでも そこに現れる様々な音楽的概念を数理モデルにしていくには 多くの議論が必要になり…

一人目，キューブ群．前回は病欠だったゼミ． 2×2×2の更に簡略版の群構造を，ということだったが， よくよく考えたら2^3の場合，持ち方の自由度だけ群が小さくなるはず． じゃぁ持ち方の自由度はどの程度，と考えていたら時間に．群論の味わい ?置換群で解き…

一人目，数理音楽． どうもコードの機能に関わるセクションに入ってから， 何を言っているのかさっぱりわからないところが増えてきた． これは単純に楽典に慣れ親しんでいないことにあるのかもしれない． 一方で英文もどうにも曖昧な書き方で，いただけない…

一人目，スキーの力学．方向性についての検討． 何やら上手い人のパラレルターンでは， ターンの前半で板が踏める，という表現をする． このとき，実はターン前半で横滑りを起し， それによってスピードをコントロールしてターン後半に向かうわけだ． これを…

一人目，キューブ群．今日は今後の指針について検討した． ネタの方向性として，「神の数」（ケーリーグラフの直径の計算）， 群構造を利用した攻略法の研究，そしてこれは前から気になっている， 球の中心を通る切断面で作られた立体パズルの群論的特徴と …

一人目，数理音楽．Bachのコラールの数理モデルから， 本日はローカルな調性，そしてグローバルな調性へと向かうところ． ただし，どうも楽典を背景にした議論で，なかなかついていけないところがある． 何だろうな，音楽的なルールを数学の言葉で焼き直して…

一人目，キューブ群．面接練習云々で今日は時間半分． キューブ群の位数2の元の個数を数える話． 確かに群の構造が分かったのでそれを観察すると もう少し手順の情報が得られるのかもしれないが， 相変わらずテキストが放りっぱなしの議論をするので，なかな…

一人目，数理音楽．今回はBachのコラールを数理モデルにする部分． もともとの作品Mとそれをどう演奏するかを表す時間パラメータθなんてものまで 考えるってところが面白い．Ligeti-Boulez measure(何れも20世紀現代音楽の旗本) なんてモノを途中定義してる…

一人目，キューブ群．ただ，開始前に教採の数学の質問が二つ． キューブ群が決定された後，交換子群についての考察． ところが例によってテキストでは十分な議論がされておらず， 我々読者はその真偽を確かめざるを得ず，そして本日はそこまで至らず．群論の…

一人目，数理音楽．四声部のvoice leadingを先週モデル化した． 位相の話が続くので当人は結構苦戦している． 仰々しく数学語で書くのだけど，直感的にははっきりしたことが多い． もう少し先まで読まないとここでの細かい注意がどう生きるのか分からない． …

一人目，キューブ群．日が空いてしまったのでどこまでやったかちょっと忘れてた． 第二基本定理によってキューブ群の構造までは見てたんだ． 本日は群の大きさや中心，Kernelとしての記述など． そうそう，中心の位数は２で，それに当たる操作がスーパーフリ…

一人目，数理音楽．古典和声理論を数理的に取り扱う論文の続き． 四声部コード進行はＲ→Z4と理解できるが， モデル化での一番の特徴はコードを完全にhomophonicで捉えるということ． 音楽を単純化しているが，代わりに数理的な扱いがしやすい． 二人目，ゲー…

年度内最後のゼミ．というか基本はLaTeXを打つ会． 一人は既に結構打ってあったので，中断していたゼミを再開． ずっと論文を読んできたわけだが，ようやく補題の連鎖が終わり， メインの定理の証明に入る． そのまま進めると本人が最後を自力でやらないこと…

一人目，数理音楽． いわゆるクラシック音楽をきちんと数理音楽的に再構成すること を試みた論文を読んでもらっている． 今日は四声部和声の構成法からtriadや7thから7音音階を構成する方法を 至るところでenharmonicに気を使いながら見た． 古典和声理論の…

本日は数理音楽． 前回の予告通り，一度Tonal Pitch Spaceからは離れて， クラシック音楽の公理的扱いを行っている論文を読み始めた． The Axiom System of Classical Harmony http://math.bme.hu/~tobiasaj/classicalharmony14.pdf音を鳴らしながら出ないと…

本日はキューブ群． テキストの「群論の味わい」では途中に寄り道が多く，ちょっとやりにくいなぁ，と思っていたら， 当人がこのテキストをもとにルービックキューブの分析のみを行った論文を見つけてきた． おお，これなら最短で全体像が見渡せる． 「行き…

春休み中は個別位に進める人は進むという形式． 今日は数理音楽．一昨年やった和音の空間配置の話を読んだ後， Fred LerdahのTonal Pitch Spaceを援用した楽曲分析を今回は試みている． とはいえ参考にした論文に間違いが多く，かつ和音感距離の重み付けに …

一人目，スキーの力学． コブ斜面を滑る話の続き，今回は撃力がテーマ． 安定の硬化できるための条件，そのために膝が吸収すべき撃力の考察など， 高校物理の範囲でまだまだ色々できるようだ． 二人目，数理音楽． Fred Lerdahlのtonal pitch spaceの理論を…

一人目，数理音楽． 今回からLerdahlのTonal Pitch Spaceの理論を見てもらうことに． とはいっても，これについて日本人が紹介しているのでそのサイトの話． そこに博士論文があるので次回からそれを読んでくるとのこと． 平行してリハーモナイズなどなど，…

一人目，スキーの力学． 一定のリズムでコブ斜面を降りるには傾斜度に応じて飛び方を変える， という結論を高校物理の範囲で説明した． 二人目，キューブ群．スライス群の決定の続き． あれあれ，で，Ker(p)は決まったんだっけ？群論の味わい ?置換群で解き…

一人目，和音の空間配置． 最後の実際の楽曲への理論適用の部分．とはいってもなんちゃって適用で， 本当はなぜその音たちを使うのかといった数理音楽的背景が追究されねばならない． そしてそれがこれから行われる研究だろう． ということで，音楽理論につ…

一人目，キューブ群．スライス群の決定がこれから暫く続く． スライス群の決定にあたっては，６面体の対角線の置換がS4なのだということ， 丁度１年前に４年ゼミで悩んだところだった．今となっては当たり前に思えることだが．群論の味わい ?置換群で解き明…

一人目，和音の空間配置．昨年度の卒論の続き． いよいよtriadをT3/S3に配置する話へ． そういえば昨年，綺麗な形にするのにえらく時間かかったんだよな， ということを聞きながら思い出していた． 二人目，スキーの力学． 何やらジャンプの話が始まる．質点…

一人目，キューブ群．先回基本定理を２つ見た． でそろそろ本題に入っていく前のちょっとした群論的事実を． 可移性と群の形について．偶置換になると可移性が２減るのだね． さて，次回から本題に．まずはスライス群から．群論の味わい ?置換群で解き明かす…

一人目，数理音楽．ずっとTymoczkoの和音の空間配置に向けて， 昨年度の卒論を読んでいる．今回は和音間の位相，とまではいかないけど， 何らかの意味で遠い近いを判断する二項関係を導入． Submajorizationについて，基本的な性質を証明した． 二人目，スキ…

一人目，キューブ群．ようやくルービックキューブそのものが登場． 群の作用，transitivity，そしてルービックキューブの基本定理１が登場． これはルービックキューブの状態が何によって完全に記述されるかを表したものだ．群論の味わい ?置換群で解き明か…

一人目，数理音楽．今回は不協和度曲線の周辺． 出てくる数式自体に意味があるわけではなく， 心理実験結果に近い曲線を作ってみた，ということだ． 純音のモデルだけから複合音についての実際の心理的効果が見える点 がこの話の面白いところ． 二人目，スキ…