ゼミの風景

おそらくお気楽はしのすけゼミの諸風景

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公平なあみだくじ(4年ゼミ)

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年内に道具を整えておきたかったので,最終日に強行.
不変積分を定義して,表現の行列要素の直交性.
ここでしばらく躓いてとどまったのだが,基底を取り固定した議論で回避.
その後,正則表現とその既約分解から導かれる諸事実,特に指標の直交関係,
Fourier逆変換,Plancherelの定理.
気付いたら4時間経っていたが,何とか道具立てが年内に収まった.
さて,具体的に対称群の既約表現はどこまで追えるだろうか?
あるいは,ここから先はユーザーに徹するべきか.

Group Representations in Probability and Statistics (Lecture Notes Vol 11)

Group Representations in Probability and Statistics (Lecture Notes Vol 11)

公平なあみだくじ(4年ゼミ)和音のトポス(3年ゼミ)

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一人目,公平なあみだくじという名の有限群上の調和解析.
前回から強制的に表現論の入り口.本日Shcurの補題.
線形代数も覚束ないのだけど,当人は器用に合わせてくる.
年内に必要な道具だけは揃えておきたい.

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二人目,和音のトポス.
先週は竹内外史の「層・圏・トポス」で入り始めて,
あの基礎論独特の拘りと表記方法に困惑したわけだが,
「今回は図書館にあった」というGoldblattのテキストを読んできたとのこと.
部分集合の概念の拡張としてSubobjectの定義しながら,
pullbackの性質,そしてSubobject classifierの定義と一意性,
そしてお気に入りの,Sub(D) Hom(D,Ω).
う~ん,やはりcategoryはarrowを追い回して証明を理解せねばね.
式で書いていると何したかったのか見失ってしまうから.
さて,当人の学習動機はもっと層をきちんと理解したいから,だそうだ.
そこでひとこと言いたかった.「ああ,か.」
年内ここまで.新年,いつから音楽に戻れるかな.

Topoi, the Categorial Analysis of Logic (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics)

Topoi, the Categorial Analysis of Logic (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics)

最適化数学,公平なあみだくじ,和音の幾何学(4年ゼミ)

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一人目,最適化数学.
もういい加減Dijekstra法,解決しようよ,という段階だが,
およそ2時間に渉る議論の末,ようやく解決.
当たり前に見えてしまうことほど証明がし辛いものだ.
そしてその「当たり前」が誤解に基づく場合,更にそれを正すのが難しい.
しかし,本日ようやくその焦点が合った.数学的議論はここまで.
あとは具体例の計算に集中してくれたまえ.
(といっても,あれ,手作業では絶対無理だと思う...)

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二人目,公平なあみだくじ,という名の有限群上の調和解析.
ずっとすっとばしてきた有限群の表現論をちまちま進める.
線形代数もままならない状態で,かつこの時期での追い込み.
今回はSchurの補題,完全可約,既約分解.
無いと始まらない概念だからきちんと見てもらう.
さて.ま・に・あ・う・の・か?

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三人目,和音の幾何学.
前回より二つのpitch set間の遠近を決めるための全順序構造についての観察を始める.
宿題を出しておいたら,「書くほどでもなく,できました.」と.
なるほどこれで全順序になった.ようやく和音の空間配置と結び付けられる.
年内,ここまで.冬休み中にどこまでまとめられるか,さてさて.

組合せ最適化 第2版 (理論とアルゴリズム)

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Group Representations in Probability and Statistics (Lecture Notes Vol 11)

Group Representations in Probability and Statistics (Lecture Notes Vol 11)

A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice (Oxford Studies in Music Theory)

A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice (Oxford Studies in Music Theory)

和音の幾何学(4年ゼミ)和音のトポス(3年ゼミ)

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一人目,和音の幾何学.どうも話がバラバラになってしまって収拾がつかない.
結局当人がVoice Leadingの追究を避けるからだ.
もう仕方ないので強制的にその方角へ向けることにした.
よく見たらちょうどTymoczkoによる導入が論文にあった.よし,ギリギリまでこれで迫ろう.
ということで,今回はVoice Leading(要するにpitch setの移動)の距離についての
全順序構造を入れるところ.しかし,なかなかスムーズにはいかない.
果たして間に合うのか,乞う,ご期待!

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二人目,和音のトポス.
Nollの論文をこの先続けて読んでも今のところ分からないことが多すぎるので,
当人の希望により層の理論からトポスまでをざっくり勉強することになった.
しかし,参考にしている竹内 外史さんの記号の癖がありすぎて,
(つまり基礎論独特の記号法だったりするので)こちらはとても見づらい.
自分も自分なりに学んでおきたいのだが,何しろ時間がない...

A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice (Oxford Studies in Music Theory)

A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice (Oxford Studies in Music Theory)

層・圏・トポス―現代的集合像を求めて

層・圏・トポス―現代的集合像を求めて

錯視の数理とウェーブレット,偽コイン問題,Ducci数列問題(4年ゼミ)

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一人目,錯視とウェーブレット.
前回残っていた宿題もよく見たら片付いたとのこと.
さぁてこれで錯視に戻れる訳なんだが,
まずはもう一度Haar waveletで起こることをきちんと観察せねば.
冬休みに時間があればBASICで実験してみたいところだ.
どこまでが本当に起こりうることなのだろうか,と.

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二人目,偽コイン問題.もう終盤に差し掛かっているのだが,
複数偽コインの場合の下からの評価が未だに完成しない.
そして,今回の議論ではすっかり騙されて載せられてしまった.
後から考えたら違うことを証明していたのだ.

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三人目,Ducci数列.こちらはもう卒論仕上げるだけになってきた.
それでもまだ何か面白い発見があるようで当人あれこれ話を持ってくる.
トリボナッチから始めるDucci数列やZ/2ZでのDucci数列には
まだまだできることがあるようだ.

最適化数学,公平なあみだくじ,和音の幾何学(4年ゼミ)

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一人目,最小費用流問題.
前回,複数始点複数終点のフローがPrimal-Dual法で理論的に可能なことを見て,
例題をやってみたら上手くいかなかったが,当人がもう一度やってみたら
ちゃんと結果が一致したそうだ.
また,Yahoo!に地図上の距離・標高差を計算するページを見つけたらしく,
これを使えばディズニーシーの避難路問題に適用できるではないか!
ただ卒論は相変わらず意味の分からない日本語による記述で頭が痛い.
ダイクストラ法の証明で再び詰まる.

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二人目,公平なあみだくじという名の有限群上の調和解析.
参考論文はようやく今回でざっと見終わる.
しかしこれから表現論の基礎からの記述を卒論にしていかねばならない.
かつ,対称群の既約表現をどこまでみとめて進めるか.
表現論のユーザー止まりでは,研究としては深まらないのだが.

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三人目,和音の幾何学.水曜に見せた結果をもとに,
早速本人がn和音版の証明をしてきた.結果は非常に簡潔.
2月ほど前まであれほど時間をかけてやってきた結果が数行に収まった.
またこの空間配置をz軸方向から見た図も描いてきたようだ.
徐々にTymoczkoの理論とCookの理論を結び付けられるようになってきたか.

組合せ最適化 第2版 (理論とアルゴリズム)

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Group Representations in Probability and Statistics (Lecture Notes Vol 11)

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A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice (Oxford Studies in Music Theory)

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和音のトポス(3年ゼミ)和音の幾何学(4年ゼミ)

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一人目,和音のトポス.Nollの論文もそろそろ大詰め.
今回はトポスそのものについては頭を悩ますことなく,
ただ,action μ[m,n]の交換子が意味するところが不明.
なぜかZ/12Zのunitと±2だけがtriadになる.
それと,Lawvere-Tierney topology ってのは,local trueといった概念と一緒に出てくるのだが,
本日登場した式をボヤっと眺めると,characteristic functionをLawvere-Tierney topologyで
ボカすことでtrueになる範囲を拡げるようなことをやっている.
これが,「その"modality"の下では"true"」という感じを表しているのかな.

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二人目,和音の幾何学.音楽続きだ.
こちらはこないだの土曜に解決した3和音,4和音での幾何学配置可能性の証明を見せた.
かなりすっきりとまとまってきた.このorbifoldを「真上」から見ると,
3音の相対的な関係だけの図になり,基音によらないtriadの本質的な響きだけが見えるはずだ.
これをCook氏の研究と合わせて眺めると,何が見えるだろうか?

Topos Theory (Dover Books on Mathematics)

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A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice (Oxford Studies in Music Theory)

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錯視の数理とウェーブレット,Ducci数列問題(4年ゼミ)

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一人目,ウェーブレット.ようやくスケーリング関数とウェーブレットの定義が落ち着いて,
スケーリング関数からウェーブレットを構成するところへ.
そうか,スケーリング方程式が丁度畳み込みのような恰好をしているから,
フーリエ変換するときれいに書けるのね.

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二人目,Ducci数列.なるほど,単調型が満たすべき式は,トリボナッチだ.
で,そのトリボナッチの第n項からの4数の0-収束時間についての予想があるそうだ.
一方,以前に研究ネタとして提示した,mod2でn数問題を見たときの周期について.
一見不規則にみえて,色々な仕組みが隠れているようなのだが,何かな.
ん~,まかせた!

最適化数学,公平なあみだくじ,和音の幾何学(4年ゼミ)

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一人目,最小費用流問題.これまで始点と終点がそれぞれ1点だったが,
避難誘導のことを考えると複数箇所の視点と複数箇所の出口があるので,
そういった場合への適用法をやってきたようだ.
何だか新たなやり方を導入し始めたが,要するにコスト0の始点終点を加えれば,
これまでのようにPrimal-Dual法で片がつく.
卒論の証明の怪しいところも質したかったが時間切れ.

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二人目,あみだくじにかこつけた対称群上の調和解析.
今回は一様分布のフーリエ係数でつまづく.
あとで振り返ったシューアの補題と指標の直交性に由来することだった.
なかなか自分自身がこの世界に住めないなぁ...

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和音の幾何学.う~ん,こちらもすっかり停滞.
ただその後,自分の手で計算しなおしたらすんなりn和音での空間配置が可能と分かり,
自分一人で納得した.
しかしなぁご当人,もう少し音楽的なことに興味があれば...

Group Representations in Probability and Statistics (Lecture Notes Vol 11)

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A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice (Oxford Studies in Music Theory)

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偽コイン問題,錯視の数理とウェーブレット,Ducci数列問題(4年ゼミ)

一人目,偽コイン問題は赤入れ.そして,下からの評価について,未だ解決せず.

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二人目,ウェーブレット.先回から多重解像度解析の言葉でウェーブレットを見直し中.
しかし,どうもあれこれ見るとユーザーによって定義が揺れ,
何か奥歯に物が挟まったような物言いになる.どれかにかっちり決めて議論せねば.
しかし,なかなか錯視に戻れず.

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三人目,Ducci数列.単調型をつなげればn数問題でも可能では?に対する考察結果.
なるほど,あれは4数だったから上手くいったのか.という結論.
さて,地味な問題は色々残っているけど,ドラスティックな変化を起こす問題,
なにか考えられないかな.

最適化数学,公平なあみだくじ,和音の幾何学(4年ゼミ)

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本日一人目,最小費用流問題.
LaTeX打ちに入り,証明を詰めると色々不備が見つかる.
今回はダイクストラ法でなんとなく大丈夫だろうと思っていた場所の穴について.
帰納的に示すということ,その点でしばらく行き違いがあり,
議論を尽くす.気付いたら3時間半.あれ,次が来てしまう.

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二人目,和音の幾何学.こちらもLaTeX打ちがメインになってきた.
とはいえCook氏らの研究について表面をさらっただけなので,
これから卒論として充実していかねばならないのだけど,
満足の行くところまで間に合うのだろうか.

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三人目,公平なあみだくじ.
ようやくあみだくじによるSn上の確率分布と一様分布との距離を測るところまで辿り着く.
とはいえ,表現論そのものを色々と認めた上での話.
これからさかのぼってそれらを詰めていくことになる.
特にSnの既約表現をどこまできちんと詰めるか,なかなかおおごとになりつつある.
それでも形にはなるかな.

Group Representations in Probability and Statistics (Lecture Notes Vol 11)

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錯視の数理とウェーブレット,Ducci数列問題(4年ゼミ)

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一人目,ウェーブレットと錯視.
しばらくウェーブレットの一般論に踏み込んでいる.スケーリング関数,そしてウェーブレットとは?
できるだけ早く一般論を片付けて,錯視にもどらねば.年末までになんとか.

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二人目,Ducci数列.こちらはLaTeX打ちがメインになってきた.
もちろん,未解決で放ってある問題もいくつかある.
折に触れそちらも引き続き考えてもらっている.
個人的に特に気になっているのは,2冪でないn数問題をmod2でみたとき,
現れる周期の長さに何らかの仕組みがありそうなんだが,はっきりしない点.
BASICでの実験をしばし観察せねばね.

最適化数学,公平なあみだくじ,和音の幾何学(4年ゼミ)

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本日一人目,最小費用流問題.懸案の証明が本日完了.
すなわち,primal dualによるフローの構成が確かに最小コストを与えること,
それを全部証明したというわけだ.
さて,いよいよこれから具体例に適用してみる段階.
当人,幾らか作業を始めていた.LaTeX打ちと並行してだが,
さてさてどこまでやってくれるだろう.

二人目,和音の幾何学は進展なく,LaTeXの赤入れで終わった.

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三人目,公平なあみだくじ.
Diaconisらが80年代後半にカードシャッフルのカットオフ現象を示したのだが,
そこでは有限群上の調和解析を上手く使って有限群上の確率分布を評価していた.
その研究をあみだくじに応用した文献の解読.
本日,一気に有限群上の既約表現,フーリエ変換,パーシバル等式まで駆け抜けた.
それにしても当人,よく議論についてきている.

それとDiaconisの本がネットにpdfで置いてあることについ先日気付いた.な~んと.
ついでに,最近DiaconisとGrahamがカードマジックにまつわる数学の
素敵な本を書いていることを知り,さっそくAmazonでポチッた.
おやおや,準周期列の一つとしてde Bruijn列を知っていたのだが,
こんなことに関わってるなんて知らなかった,面白い!

Group Representations in Probability and Statistics (Lecture Notes Vol 11)

Group Representations in Probability and Statistics (Lecture Notes Vol 11)

数学で織りなすカードマジックのからくり

数学で織りなすカードマジックのからくり

錯視の数理とウェーブレット,Ducci数列問題(4年ゼミ)

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一人目,錯視とウェーブレット.
これまで具体的にHaar waveletでのみ観察をしてきたのだが,
ようやくウェーブレットの枠組みから再度取り掛かってみることになった.
L2空間をうまくフィルトレーションする「多重解像度解析」を定義して,
そこからウェーブレットを捕まえる.
錯視現象はどの程度の一般論まで耐えられるだろうか.という試み.
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二人目,Ducci数列.今回は学生オリジナルな問題を持ってきた.
前回,4数問題において単調型を繋げれば無限にDucci列を遡っていけることを見たのだが,
他の型の場合はどうなのか,という問題だ.
学生の卒論らしい,良い問題のように思える.さて次回,どこまでやってくるだろうか.

最適化数学,公平なあみだくじ,和音の幾何学(4年ゼミ)

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一人目,最小費用流問題.かなり詳細に詰めてきた.
懸案の証明も,当人の調査によりようやく方が付く(のはず).
さて,これらをちゃんと記述してくれるだろうか.
そして,実例への適用はどこまでできるだろうか.

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二人目,公平なあみだくじ.先週より大きく舵を切って対称群の表現論と,
その上での調和解析の道具を使う話に.とはいえ,とてもとても時間が足りない.
どこまでをユーザーサイドとして認め,どこまでは証明を詰めるか.
色々と判断が迫られる場面だ.

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三人目,和音の幾何学.
どうしても4和音の空間配置が上手くいかない.
線形な式たちの海に埋もれてしまう.
一方で,幾何学配置だけでは音楽に戻れないので,
前回から提案を始めたNorman Cook氏のtriadに関する考察について少々議論.
TensionとModalityという概念を付加すると,Tymoczkoの和音の幾何学に
認知科学的な意味付けができるのだと思うのだ.

おっとこの後,4年ゼミ生全員で万燈へ.久しぶりに全員参加のイベント!
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A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice (Oxford Studies in Music Theory)

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