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錯視の数理とウェーブレット,偽コイン問題,Ducci数列問題(4年ゼミ)

本日前半は卒論赤入れ.錯視と偽コイン.
偽コインはやはりlog3nCmの解釈で詰まっている.
それはそうと,この先どこへ進もうか.
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3人目はDucci数列の実数への拡張を議論.
固有値は求められずとも定性的性質だけで多くは語れるのです.
こちらも,もう一息何か発展させたい.

最適化数学,公平なあみだくじ,和音の幾何学(4年ゼミ)

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一人目,最小費用流問題.
プライマリーデュアル法で得られるフローが確かに最小費用であること,
その証明の行方でここしばらく足踏み.
当人の検索により徐々に包囲網が狭まってきたようではある.
さて,次回には解決できているだろうか?

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二人目,公平なあみだくじ.ここ数回は全く道を見失ったので,
初心に戻り,あみだくじそのものへ.つまり,対称群の表現とランダム置換の話.
今から始めてオリジナルができるか極めて不透明だが,そのときはそのときか.
今回さしあたり,標準盤の個数の公式まで.次回はきっとYoungの既約表現.

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三人目,和音の幾何学.もうなかなか音楽にならないことと,
和音の協和度を考慮せず純粋に幾何学配置だけ考えても何か違うと思い,
Norman Cook氏のtriadに関する考察を取り入れたいと考えていた.
が,前回ダメだろうと思っていた幾何学配置が実はOKと再確認.
おや,では4和音もできるかな?と.

錯視の数理とウェーブレット,Ducci数列問題(4年ゼミ)

こちらのグループはLaTeX打ちに突入.
前期に打ち貯めてあった部分もあり既に十数ページが提出された.
ほとんどの時間,赤入れに使われた.
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偽コイン問題は「当たり前」と言われている下からの評価について議論.
しかし解決せず次回に保留.

錯視については幾何学的な部分はもうかなり書かれていた.
あとは後半のウェーブレットの部分の着地点をきちんと定めないと.

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Ducci数列については,その先の話題を考えた.
4数問題でより長く試行が続くため(つまり0に収束するまでの回数を多くする)
の条件が分かっているのだが,これを無限に遡った極限は何か?
という問題.適当に正規化して考えればこの逆極限は無理数を成分に持つ
Ducciの操作に関する固有ベクトルとして捉えられるだろう.
その辺りの話から広げていってはどうだろう.

最適化数学,公平なあみだくじ,和音の幾何学(4年ゼミ)

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一人目,ディズニーシーを具体例に,来場者の緊急避難法の計算.
しかしまずは最も素朴に各ポイントからの出口までの最短経路を
ダイクストラ法で探索.これは手作業でやれたらしい.
その後,最小費用流問題として客の誘導フローを考えようとしているところ.
今度はプログラム組まないとダメかな.
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二人目,着地点が全く見えなくなったあみだくじ.
今回もお絵かき教室のようになった.途中,「なんで?」というちょっとした発見もあったが,
相変わらずどこに向かうのか不明.
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三人目,和音の幾何学.相変わらず和音の立体配置で留まっていて進まず.
というか,この数回やってきたことがどうも間違っていたようだ.
要は和音のトポロジーが何らかの意味で構成できればいいのだけど.
もちろんそこには音楽的意味が伴わねばならない.
さてさて,そろそろ過去の遺産を利用しますか.

あみだくじの数学 (数学のかんどころ 5)

あみだくじの数学 (数学のかんどころ 5)

A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice (Oxford Studies in Music Theory)

A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice (Oxford Studies in Music Theory)

偽コイン問題(4年ゼミ)

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偽コイン問題,測定回数の上からの評価についての最終回.
難なく最後まで解読できたのでまずは一息.
しかし,恥ずかしながら下からの評価で登場するlog3 nCmが情報理論的下限を意味している,
ということを自分自身が把握していなかった.
LaTeX打ちに入ってもらうと同時に,この解釈を把握してきてもらうことにした.
そうか,decision treeの話だもんな...

錯視の数理とウェーブレット,Ducci数列問題(4年ゼミ)

錯視とウェーブレット.
EXCELでとりあえず実験してきてもらってきた.
1次元データをHaar waveletで分解しその係数に歪みをかけて再び合成する.
はじめ上手くいかなかったのだが,データの位置をずらすことで
色の境界で歪みが起こる様子が確認された.
さて,Haarぐらいであれば,この現象を数式でも追えるのではなかろうか.

Ducci数列もひとまずLaTeX打ちへ.書いてきてもらったものはメイン部分が
コンパクトになり過ぎて,今後あれこれ肉づけをしていかねばならない.
そろそろそういう時期が近付いてきたか.
ただ,このままの内容だと(全く参考文献の乏しい中,我々自身では十分に試行錯誤したのだが)
いろいろと心許無いので,数列を整数から広げる方向を提案した.
ま,有理数の場合はすぐに分かるのだが,無理数が入ってきた場合,色々楽しいことが起こりそうだ.

本日いずれも写真を撮らず.

ウェーブレット (共立叢書現代数学の潮流) (共立叢書 現代数学の潮流)

ウェーブレット (共立叢書現代数学の潮流) (共立叢書 現代数学の潮流)

最適化数学,公平なあみだくじ,和音の幾何学(4年ゼミ)

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本日3人.最適化数学は,ディズニーシー(経路が複雑になるので)での緊急避難路について
前回から考えようということになった.先週渡した数理モデルを見てきてもらったつもりだが,
よく見てないようなのでその場でやってもらう.
うん,ちゃんと最小費用流問題になっているようだ.今後は,
1.個人視点で避難する場合,ダイクストラ法で単純に経路を探す.
2.ある1つのアトラクションからの客の避難誘導を行う最適な経路を探す.
3.複数のアトラクションからの多数の客の避難誘導の最適経路を探す.
の3ステップで迫ってみることになった.
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公平なあみだくじ.もはや公平云々はどっかに行ってしまったが,
交差点ルールをあれこれ観察しているうちにすっかりトポロジーになってしまった.
交差点の局所的な情報からどうやってグローバルな情報を導こうか.
まだまだ考察が必要なようだ.
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和音の幾何学.triadについての空間配置は前回出来上がったので,
今週は4和音に挑戦.やはり4次元なので色々と勘違いをしていたようだったが,
なんとか時間内に基本ベクトルの構成まではできた.
次回までに,4和音の空間配置を完成してきてもらおう.
そしてそろそろVoice Leadingとの関係を追っていってもらいたい.

A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice (Oxford Studies in Music Theory)

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偽コイン問題(4年ゼミ)

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先回から読み始めた,「軽いコインが複数枚あるときの計測回数」の上限についての論文.
枚数多く撮影したのは忘れてしまいがちな細かい議論を記録しておくため.
本日,証明のメイン部分.素朴なんだがよく思いつくな,という議論が連続する.面白い.
何だろうな,加法的整数論なんかでよく経験する sumset の議論と似た感覚.
次回,仕上げだな.

Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets (Graduate Texts in Mathematics)

Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets (Graduate Texts in Mathematics)

錯視の数理とウェーブレット,Ducci数列問題(4年ゼミ)

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本日一人目,ウェーブレットと錯視.
表面だけではあるがウェーブレットを見たところでそろそろ錯視に戻りたい.
ただ,扱ったのはHaar waveletだけなので,その基底のもとでどこまで錯視が再現できるか,
やってみなければ分からない.さしあたりEXCELで実験してみよう,ということになった.
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二人目Ducci数列.Ducci数列がやっていること,
すなわち整数上の力学系として何をしているのか,という観点で観察中.
こうして見ていると,任意の初期状態から0に収束するような例が
他に思い浮かばなくなってきた.
そうなるとそれはそれでこの力学系の特殊性に興味が湧く.
本当は何が起こっているのだろうなぁ...

公平なあみだくじ,和音の幾何学(4年ゼミ)

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本日一人目,何だかんだとひと月ぶりになってしまった.
あみだくじが公平でないという事実から,比較的公平なあみだくじの変形版を考えよう,
というモチベーションで始めた話だったが,ちょっと行き詰まっている.
しかし,この変形版として登場したグラフくじ自体は試みに考えるには面白い.
さてさて,どうしようか
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二人目,和音の幾何学.Triadの空間配置については完全に一対一対応が構成された.
同様なことは4和音についても行えるだろう.
さて問題はこの先だ.もともとTymoczkoがこういったことを考え始めた背景が
Voice Leadingにあるのだが,それについての音楽的経験が少なすぎることだ.
ちょっときちんとこの辺りを見ておかねば始まらないように思えてきた.
何を問題とすべきか,ということだから.

あみだくじの数学 (数学のかんどころ 5)

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A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice (Oxford Studies in Music Theory)

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最適化数学(4年ゼミ)

これまで最適解を求める様々な手法を見てきてもらったのだが,
そろそろ具体的な形での適用を目指したいところ.
ということで,考えてきてもらったのだがアイディアが出なかったようで,
今回写真資料もなし.最小費用流問題として「ディズニーシーの避難誘導の数理モデル」
なんてどう?と提案し,参考になりそうないくつかの論文を提示した.
マルチエージェントの話なんかにはちょっと今からじゃできないかな.
ちゃんちゃん.

偽コイン問題(4年ゼミ)

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先週から再開した偽コイン問題.
コインの上手いナンバリングについての考察はちょっと行き詰まったので,
趣向を変えて,量る回数についての評価についての短い論文を読み始めたところ.
n枚中m枚の軽い偽コインがあったとき,大体何回ぐらいで特定できるか.
その下からと上からの評価についての話しだ.
やっとちゃんとした論文を読むことになったのだが,
なかなか要領良く読んできていた.さて,来週はどこまで行けるかな.

錯視の数理とウェーブレット,Ducci数列問題(4年ゼミ)

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本日一人目,ウェーブレット.
今回は多重解像度解析をフェーズ図で表すことを目標に見てきてもらった.
まず1次元の場合に確認して,2次元.確かに順番に丹念に見ていくとこの図のとおりになる.
そういえこのところウェーブレットばかりになって錯視から離れてしまった.

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本日二人目はDucci数列.
証明がほぼ完成して(清書するときっとまたなにか起こるだろうけど)
およそ10ヶ月にわたる疑問がこうして解消した.
が,さらにこの問題を遠目に見ると,色々な疑問が浮かぶ.

  1. なぜ,2冪周期でなければならなかったのか.その背後にある理由は何だろう?
  2. 差の絶対値という操作は何を意味しているのだろうか.

証明で行われたことを振り返りながらDucci数列を一般的に解釈すると,
自然数列の連続p項(a_k+1,...,a_k+p)から自然数b_kを対応させる操作において,
b_k≦a_k+1,....a_k+p がいつも成り立つような対応を考えているわけだ.
さて,このような上手い対応は...と探すと,
例えば p=2 だと差の絶対値しかなさそうなのだが...
という方向の提案をして今回終了.

和音の幾何学(4年ゼミ)

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こちらもおよそ副免実習前以来のゼミ.ようやく復帰.
オイラーに端を発するTonnetzの幾何学を現代風に読み替えたTymoczkoの論文を追ってきた.
本日はtriadとトーラス体の対応が上手くいっていることを確認した.
中心にある立方体の積み上げでできた柱はメジャーとマイナーのtriadが綺麗に並ぶ.
そこから一歩だけ外へ出ると,今度は7thとかディミニッシュの構成音.
さて,ここに意味があるのかないのか...

A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice (Oxford Studies in Music Theory)

A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice (Oxford Studies in Music Theory)

最適化数学(4年ゼミ)

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先週から,これまで学んだアルゴリズムを具体的な問題に使ってみよう,
となったところだった.
前回,ナップサック問題をディズニーランドに適用してみたのだった.
Greedy Algorithmで下界値の一つを求めていたが,
整数計画法を連続緩和してもうちょっと良い値を求められないか,
ということでシンプレックス法を見てきてもらった.
まぁ,アトラクションの数が多すぎるので手計算の世界ではない.
結局,最後は数値計算になるのだろう.
しかし問題は「どんな問題を考えるか」だ.それが次回までの宿題.