ゼミの風景

おそらくお気楽はしのすけゼミの諸風景

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大詰めの4年卒論(4年ゼミ)

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今週に入り,個別ゼミは終了.もう卒論を書けるだけ書いてもらっている.
昨年はこの時期にはもうほとんどいつでも卒論が提出できる形になっていたので楽だったが,
今年はこの10年でもっとも遅い進行となり,年明けのテンヤワンヤを想像すると頭が痛い.
それでもようやく形が見え始めたゼミ生が増えてきて,
例年進行度でいくと12月上旬ぐらいまで来ただろうか.
シュートの数理がこれまでずっと数学的な核になる部分が見当たらず困っていたが,
本日やっと矮小な結果ではあるものの,核になりそうな議論ができあがった.
これでなんとか,なんとか安眠妨害の要素が減ったと思いたい.

スポーツ科学,錯視の数理,キューブパズル(4年ゼミ)

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一人目,スポーツ科学.
ちょっと行き詰った2リンク剛体モデルは休止して,バットの話に戻っている.
撃心とエネルギー最高点の位置を実際のバットで計測してみる,ことを提案.
本日はバットをどこかから借りてきて実験の準備.
バットの重心周りの慣性モーメントを計測してもらうわけだ.
で,その為に剛体振り子の運動方程式を見てきてもらった.
これで測定できる.来週には分かっているかな.

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二人目,錯視の数理.すっかり行き詰ってしまった錯視.
モアレレンズでいくらかネタにできそうだからそちらを進めたいのだが,
肝心の当人がこちらから送ったモアレレンズのBASIC実験すらしていなかった.
で,「粗視化」すればすぐ説明できるだろうといざ計算を始めてみると,
どうもうまくいかない.単純に短周期での積分ではダメらしい.
後々じっくり考えたら,「格子」を被せることに意味があると気付く.
ああ,それなら本当に粗視化だ.今度こそ説明できそう.

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三人目,キューブ群.もうあとは卒論書いてもらうだけ.
でもきちんと書き始めると色々と不安が出てくるらしく,色々と確認事項を持ってきた.
まぁ,確かにゼミの途中議論を進めるために直感的にそうだろうことを
何カ所か認めた気もする.そこを如何にきちんと書くかが問われているのだろう.
さて,年内にほぼ完成となるかどうか.

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

戦争の数理,シュートの数理(4年ゼミ)

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一人目,戦争の数理.
ようやくここにきてちょとずつ形になりつつある.
同じランチェスター則を満たしても元の微分方程式が違う場合が幾つもある.
だから保存則とは別に解を観察する必要がある.
たとえば途中で援軍が来たとき,モデルの違いが効果の違いになるのか,など.
そういったもう一歩突っ込んだ議論ができてくればほぼ完成として良いだろう.

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二人目,シュートの数理.
実はもっとも行き場を失っている話になった.計算すれどもすれども結果が出ないのだ.
もうそろそろこちらも慣れてきて何かいいコト思いつくだろうと高をくくっていたが,
これまでやること全て空振り.キツイのう.
こうなったらシミュレーションして先に状況を掴んでから
アタックする他無い.ってことでBASICで作ったよ.
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REM
REM [Optimal Catch Point]
REM ver. 2015/12/16
REM

SET WINDOW -1,1,0,2
INPUT  PROMPT "R=":R
DRAW circle WITH SCALE(R)*SHIFT(-R,0)
LET gx=0
LET gy=1
LET cy=1
SET POINT STYLE 7
LET mRatio=100
LET mcy=0
LET mcx=1
DO
   mouse poll mx,my,left,right
   SET DRAW mode hidden
   IF left=1 THEN
      LET gx=mx
      LET gy=my
      LET mRatio=100
   END IF
   IF right=1 THEN
      LET cy=MAX(MIN(my,R),.01)
   END IF
   LET cx=SQR(R^2-cy^2)-R
   LET th=ANGLE(gx+R,gy)
   LET ph=ANGLE(cx+r,cy)
   LET L=SQR((gx+R)^2+gy^2)
   LET D=SQR((cx-gx)^2+(cy-gy)^2)
   LET ratio=D/(R*ph)
   IF mRatio>ratio THEN
      LET mRatio=ratio
      LET mcy=cy
      LET mcx=cx
   END IF
   CLEAR
   SET POINT COLOR 4
   PLOT POINTS: gx,gy
   PLOT TEXT ,AT gx,gy: "G"
   SET POINT COLOR 3
   PLOT POINTs: cx,cy
   PLOT TEXT ,AT cx,cy: "C"
   PLOT TEXT ,AT 0,0: "S"
   SET POINT COLOR 7
   PLOT POINTS: mcx,mcy
   PLOT TEXT ,AT mcx,mcy: "min"
   SET LINE COLOR 2
   PLOT LINES: gx,gy; cx,cy
   SET LINE COLOR 5
   PLOT LINES: -R,0; gx,gy
   PLOT LINES: 0,0; gx,gy
   SET LINE COLOR 8
   DRAW circle WITH SCALE(R)*SHIFT(-R,0)
   PLOT TEXT ,AT 0.5,1.9 ,using"GC/SC:#.#######": ratio
   PLOT TEXT ,AT 0.5,1.85 ,USING"min:#.#######": mRatio
   SET DRAW mode explicit
LOOP UNTIL left*right=1
END

和音のトポス(4年ゼミ)

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和音のトポス.ゼミという形で行うのは久しぶり.
Nollの考えを元にした考察はほぼ煮詰まってしまった.
結局toposにした訳は?そしてなぜtone perspective?
これらの気持ちが理解できぬままここに至る.
出発点である,tone perspectiveという一次変換による極小不変集合として
triadを捉えるその気持は何なのだろうか?
ダメ元で倍音列から加法的に生成した音列を区分けして観察する.
確かに(かつて人々が様々な方法に依って音律を構成してきたように)
歴史的に協和音程として次第に認められてきた音列が順に姿を表す.
これらに何らかの豊かな代数的構造が認められれば話は進む.
だが現在のところ情況証拠のみ.そして数理音楽のもっとも難しい点は,
我々が実際に耳にする音楽はZ12上のものだけだ,ということ.
それがどの程度汎化できるシロモノなのか,判断しにくいことなのだ.

今回の数理音楽ネタ,例年結局数学の流れてしまう中,
比較的音楽寄りで在り続けるよう軸をぶらさないできた.
が,それがもう一歩面白いところへ行きつけない原因なのか.
時間がない...

スポーツ科学,キューブパズル(4年ゼミ)

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一人目,スポーツ科学.二リンク機構としての足の運びの解析.
エネルギー最小化といいつつ,エネルギーそのものを積分していた間違いに気づく.
で,改めて見なおしてみたものの,最小時での角速度が予定と反対に.
あれれ?といったところで行き詰まったからとりあえずお開き.
あぁ,バットの話も進めておいてね.

バイオメカニクスと動作分析の原理

バイオメカニクスと動作分析の原理

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二人目,キューブ群.さて,今回でひとまず終結しよう.
スキューブ群の決定,確かにある準同型のカーネルに一致することを
ちゃんと確認.これでもう不確定要素はない.
そしてこれができると,ほぼ同時にデカミンクスもオクタヘドロンも説明できる.
うん,良い感じだね.あとは,いかに年内に書ききるか,だ.
と,こうしてあれこれ議論しているうちに,スキューブあたり,
自力でできそうになってきた.
store.tribox.com

戦争の数理,シュートの数理(4年ゼミ)

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一人目,戦争の数理.クープマンの分割モデルなど,書くことが多少増えて
いくらかなりとも形ができつつあるが,
しかし抽象的に微分方程式で遊んだ程度に終わっている.
実際の戦争にそのモデルはふさわしいのか?とか,
ランチェスタータイプの不変量を見つけて,そこから何が言えるのか?
などなど,詰めていくことは色いろある.
何より解曲線そのものに関わる解析が何もない.
だから2対2モデルといった多少なりとも時間が関わってくるものを扱いたい.

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二人目,シュートの数理.
う~ん,ネタとして今のところ成立していない.
どれもこれも式を立てては,その後の解析が続かずポシャる,を繰り返す.
ただ,ようやくここにきて円シュートモデルでは複素平面で計算したほうが
色々と具合が良さそうなことが掴めた.
さて,今日導いた極小値候補が満たすべき関係式,
直線モデルと同等なものだろうか?それを宿題に.
気づいたら,3時間経っていた.

スポーツ科学,キューブパズル(4年ゼミ)

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一人目,スポーツ科学.
二リンク剛体モデルとしての足の動きについて,
位置エネルギーを考えないのなら大体解決したとしていい.
で,足の移動による位置エネルギー変化,考慮すると大変になりそうだが,
現実的な数値を当てはめたとき,その影響が小さい,となれば
まぁ無視して考えようぜ,と促す.
バットの話題も中途半端に止まっているし,やることが溜まっている.

バイオメカニクスと動作分析の原理

バイオメカニクスと動作分析の原理

スポーツバイオメカニクス20講

スポーツバイオメカニクス20講

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二人目,キューブパズル.
大詰めだと言いつつ,詰められていないところを確認.
準同型のカーネルとして群を決定したものの,
本当にカーネル全体か,の議論が必要.
そして,なぜテキストとA4だけ大きさが食い違ったのか,
についても意味がはっきりした.そしておそらく我々の見方が正しい.

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

戦争の数理,シュートの数理,スポーツ科学(4年ゼミ)

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一人目,戦争の数理.
Lanchester likeな不変量を持つ数理モデルをあれこれ考え始めて数週間.
また前回からは分割戦略についての議論に入った.
二分割戦略からn分割戦略に広げて見てきてもらうつもりだったが,
なぜn等分が良いのかの説明はされず.で,そのままその場で議論してもらった.
高校数学くらいの簡単な幾何なのだけど,見えないのかな.

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二人目,シュートの数理.ホント11月は1回しかやれず,久しぶり.
先回から戦略を変えて,キーパーの可動範囲を求めて議論することに.
で,おそらく必要となる包絡線定理について見てきてもらった.
で,具体的に中心が直線上で半径が一定速度で成長する円群の包絡線をやってもらう.
ついでに最適キャッチポイントの議論もできるかと始めたらドツボに.
うわぁ,続きは来週.

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三人目,追加でスポーツ科学.
二リンク剛体モデルでのエネルギー計算と最小値探し.
途中,角速度の捉え方を間違えていて計算に行き詰まるも,
何とか体勢を立て直し続行,最小値があることまではつきとめた.
さて,その最小値を与える場所が性質として意味付けできるところかどうか,
詳細に計算してもらって考えることに.

スポーツ科学,錯視の数理,キューブパズル(4年ゼミ)

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一人目,解析力学まで持ち出し始めたスポーツ科学.
しかしそこまで行かずともエネルギーの議論だけならできる.
ということで2リンク剛体モデルとしてのエネルギー問題を考えてきてもらった.
書かれた式をよくよく眺めると,速度ベクトルで書き直すとすっきり見える.
そして重心の運動エネルギーと重心回りの回転エネルギーに分解して,
エネルギーを時間積分してみる.お,膝の角速度の関数として確かに最小値があるぞ!
というわけで,2リンク剛体モデルで一つ形になりそうな結果が出た.

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二人目,錯視の数理.
モアレ押しで進めてきているが,上手くアイディアが浮かばず今日も停滞か,
と書かれた式を眺めていると,おやおや,モアレ拡大の仕組みが見えるぞ.
そうか,高周波成分を積分して消してしまえば長周期成分だけが残って
確かにモアレによる拡大効果が見える.
なら,一般の図形においてもフーリエ級数に展開して議論すれば...
この先を見てきてもらうことに.お,ようやくこっちもブレイクスルー.

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三人目,キューブ群.
こちらはそろそろ大詰め,スキューブ群をとある準同型の核として決定できるところまできた.
そしてその準同型の意味もはっきりしている.
先週まで疑問だった,ある部分の直積成分も改めて眺めると間違っていない.
おそらく平行な議論でデカミンクスにも適用できるだろう.
うん,だいたい落ち着いたかな.あとはきちんと書いてもらうことだ.

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

戦争の数理(4年ゼミ)

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戦争の数理.微分方程式一辺倒に変えてから数回,
もう一歩一般的な形での議論がされた.それでもLanchester的な保存量が出てくる.
こうして様々なモデルで同一の保存量が現れるのだが,
それが実際の戦争を表していなくても議論できてしまう点が良いといえば良い.
と,数学としてはこういった一般化議論は意味があるのだが,戦争からは遠のく.
さて,この先どうすべきか,何かでっち上げねばならないのか,と見ていたら,
新しい話題を持ってきた.
これまで自軍を分割して被害を最小化する方法を探していたのだが,
逆に相手をどんな割合で分割して戦うと自軍の被害を最小にできるか,という問題.
クープマンモデルというのだそうだ.おお,ようやくブレイクスルーの兆し.
これなら一つねたになりそうだ.

和音のトポス(4年ゼミ)

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和音のトポス.
ここしばらく,5度圏表示のTonePerspective(TP)から純正律表示に広げたら,
新しいmonoidが生まれるのか観察してもらっている.
NollはCEG-monoidの生成元として13と48を選んだのだが,
まずはそれに対応する純正律表示でのaffine変換を探し,
その観察からTPの行列表示となりうる性質を見てきたとのこと.
さて,それをじっと眺める.何だか特殊事情だけを見ているようだったので,
一度一般的に議論しなおしてみる.
何よりcovering Z→Z12と Z×Z→Z3×Z4と可換な作用の条件を探すと
かなりaffine変換が限定されると分かり,さらに推し進めると
結局5度圏表示のTPと純正律表示のaffine変換が対応してしまうこと,
つまり表現が同じなんだと分かってしまった.
なんだ,純正律にしたらmonoidが増えるかと思ったが,同じなんだ.ふぅ...

スポーツ科学,錯視の数理,キューブパズル(4年ゼミ)

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一人目,スポーツ力学.本人の意思もあって,ついに解析力学へ突入.
今日はとりあえずNewtonの運動方程式から,
LagrangeanとEuler-Lagrange方程式が導かれる様子を見てきたようだ.
さて,剛体リンクモデルの解析にどこまで行けるかな?

↓本も自分で買ってきたそうだ.

解析力学 (物理入門コース 2)

解析力学 (物理入門コース 2)

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二人目,錯視の数理.なんだかちっとも危機感が無いというか,
一週間しても全く進んでいなくて困った.
モアレによる拡大現象を見てきたかと思ったら,
記録を残していなくてできなかったとのこと.さて,一体誰の卒論なの?
一方ベンハム錯視については,論文を「見てきた」.
仮説ではあるけれどそれなりに納得できそうな話.ではこれを何らかの形で数理にせねば.
ニューロンの発火モデルから微分方程式援用してこようかね.

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三人目,キューブ群.
デカミンクスについて見てるうちに,そもそもスキューブ群の3面体の向き付け量が
なぜ直積で良いのか?という根本的な問題に立ち戻ることになった.
スキューブを手に目の子で調べてみると,参考文献が言っていることも分からなくもない.
次回までに詰めてきてもらうことにした.

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

戦争の数理,シュートの幾何(4年ゼミ)

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一人目,戦争の微分方程式.
先回ちょっと進んだように見えるw次法則が導かれる微分方程式モデルの考察.
でも,よくよく振り返るとなぜそのモデルにした?再度振出しに戻ってモデルを考える.
そうしてみると,もっと素朴に1次法則と2次法則を結ぶモデルがあり,
意味付けできそうなモデルもあり,で何だか色々現れる.
いずれも第一積分の存在するモデルで,だからこそw次法則といった議論になるのだが,
Lanchesterと一言でいっても,背後にあるモデルは無数に取り得るようだ.
では,戦争を記述するモデルは果たしてなんだろうか?

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二人目,3週ぶりにシュートの幾何.
どうも目的関数の式を出すところまではいくものの,その先定性的にものをいう,
というところへは行けずに止まってばかり,そこで発想を逆にしてみることに.
シュートの道程とキーパーの移動距離の比αをfixしたとき,
キーパーが存在できる範囲を求めていけば定性的な物言いがし易いのでは.
つまりシュートコースに添ってその道のりに比例した半径を持つ円を順次描いて,
その包絡線を求める作業ということになろう.
とりあえずそれを求めてからその先を考えることに.

和音のトポス(4年ゼミ)

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和音のトポス.
前回,5度圏Z12に作用するmonoidではなくTonnetz Z3×Z4に作用するmonoidとして
Tone Perspective(TP)を考えると対応するtoposはどんなものが現れるか?
という問題提示をした.
CEGをminimal invariant とする非可逆元で生成されるmonoidを考えると
なぜかNollが構成したmonoidと同じになる.
あれ?とよくよく眺めてみると,5度圏表現とTonnetz表現が同じになっていることに気付く.
ということは5度圏でのTPはTonnetz表現できるということか.
一方,Tonnetz上のTPは必ずしも5度圏表現されないだろう.
ということで,そのあたりの関係を見てきてもらうことに.

スポーツ科学,錯視の数理,キューブパズル(4年ゼミ)

f:id:okiraku894:20151113121816j:plain
一人目,スポーツ科学.ランニングの解析が始まった.
とはいえ,何を問題とすべきかが問題なのだが,
当人あれこれ考えてきたようで,陸上競技の経験と合わせて
問題となりそうなことをふわっと挙げてきた.
で,その中から慣性モーメントを主題にして計算できそうな話題を
あれこれ議論した結果,いささか問題がはっきりしてきた.
股関節と膝関節の2リンクある運動に関わるエネルギーを比較しようと.
さて,どこまでできるだろう.

バイオメカニクスと動作分析の原理

バイオメカニクスと動作分析の原理

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二人目,錯視の数理.モアレ路線で進むものの,
先回から計算の途中で止まる.
一方,ベンハムのコマについても有効なアイディアが出ず,
1時間ほどあれこれ考えを巡らす.
と,当人が丁度よそさそうな論文を発見し,それを読んでくることに.
またモアレについては,私自身が「モアレのルーペ効果」を見てみたくなり,
まずは格子モデルにおいて数式上その効果が見えるのか,
やってきてもらうことに.さてさて.

サイエンスの香り―生活の中の数理

サイエンスの香り―生活の中の数理

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三人目,キューブ群.スキューブ群の拡大として
デカミンクス群が得られることが確実となったので,
2面体の向き付け表現への作用を見てきてもらった.
途中だったようだが,ゼミ中に様子はほぼ確認できた.
さて,そろそろこれまでのまとめをして一気に卒論にしてもらおう.

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?