ゼミの風景

おそらくお気楽はしのすけゼミの諸風景

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戦争の数理(4年ゼミ)

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戦争の数理.微分方程式一本にしてから多少は手を動かして進む気配は出てきた.
本日は前回までで一般化したw-次 Lanchester則において
増援が戦争にもたらす影響を考察しようとしてきたらしい.
とはいえ,まともな計算ができそうなのが二次法則に対応する場合で,
そして出てきた結果は「増援は早ければ早いほど損失も少なくて済む」で,
ある意味当たり前な結果が見える,ということが分かったところ.
う~ん,なかなか最適化数学が活躍するジレンマ的状況を創出するのが難しい.
どの卒論でもそうなのだが,「何を問題とするか」それが問題,ということだ.

和音のトポス(4年ゼミ)

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和音のトポス.NollのTopos of triadでは5度圏Z12上の
アフィン変換が成すmonoidを考察してきた.
特にtriad CEGについてはある程度の数理音楽的考察ができたとはいえ,
協和的和音本来の"周波数比が単純な組になっていること"という観点からは
いささか肯きかねる部分が見え隠れする.
つまりNollの仕事はピタゴラス音律による音階 ― 一次元的音階の枠組みでの
考察だったという理解の仕方があるだろう.
そうなると次は多次元的音階での考察,例えば5倍音limitedな音律,つまり純正律を元にした
音の配置空間上でのアフィン変換が成すmonoidを考察するのは十分ありだろう.
もっとも純正律による音階構成法そのままでは直積Z12=Z4×Z3にそぐわない.
長三度軸と短三度軸での分解で見る方が数学的には正しい.
これはつまりEuler以降考察されてきたTonnetzに他ならないのだが.
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とにかくこの二次元トーラス上のアフィン変換を考察しよう,
そういう提案と若干の計算を行ってみたといったところ.
さて,次回までに何か出るかな?

スポーツ科学,錯視の数理,キューブパズル(4年ゼミ)

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一人目,スポーツ科学.動かしやすい足の筋肉の形を慣性モーメントから見る.
ものすごくシンプルなモデルとして長方形の一部を切り取って別の箇所につけると,
回転軸周りのモーメントがどう変化するか観察.
やってみると二次関数程度に収まり最適ポイントが見つかる.
では斜線で切り取ったら?あるいは曲線にしたら?
そうなると変分法になってくるけど,どうするかな?
それとバットについての議論,やり残しが多いまま.こちらもどうなる?

バイオメカニクスと動作分析の原理

バイオメカニクスと動作分析の原理

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二人目,錯視の数理.
話をモアレに移行したものの,ちっとも観察が進まず完全に停滞.
直前にちょこちょこっとやるぐらいじゃ何ともならないんだよな.
今のところ全く見えてこないし,当人にもエンジンがかからない.困った.

それでもちょこっとこちらでも実験してみた.
上が同心円で半径の変化率が一定の場合,下が半径に比例する場合.
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↑じっと見てると,蜘蛛が震えてるように見えるでしょ?

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三人目,キューブ群.これまでのスキューブ群を導く過程を再度確認.
おそらく,これで一つの形になっただろう.
そしてついでにメガミンクス,これはスキューブの1面体に矢印をつけたモノ,
向きについてはZ4が付けられることになるから,群はどれくらい膨らむかな.

↓自分もついつい買い足してしまった.
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群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

戦争の数理(4年ゼミ)

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本日1人だけ,戦争の数理.
微分方程式にオンリーにかじを切ってしばらく.
本日は「援軍」があった場合の状況をやろうとしたらしい.
が,式を導出して終わったようだったので,その先をどうするか,について考えようとした.
でもその前に得られた解が怪しくも思えたので,
ちょっと手を動かしていたら,一般のw次法則のバージョンですっきりと解が得られてしまった.
お,これなら色々評価しやすそうだ.その先,頑張ってね.

って,例えば,一次法則ではいつ援軍が現れても結果は変わらないのだが,
w次となると戦争が早く終結する援軍のタイミング,
あるいは見方の総損害が最小になる援軍投入のタイミング,
なんてものがあるようなないような感じだからだ.
で,ちょっとシミュレーション.あれ,やはり最初から援軍分あったほうが良いのか?
終結までの被害も初めに多いほうがやはり小さい.う~ん,ま,そうか.
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REM [Lanchester with Reinforces]
REM Ver. 2015/11/04
REM 増援のタイミング:reintime
REM 増援の数:reins

LET tmax=30
LET smax=100
SET WINDOW -.05*tmax,tmax,-.05*smax,smax
DRAW axes(tmax*.1,smax*.1)

SET COLOR MIX(2) 0,0,1
SET COLOR MIX(4) 1,0,0
LET count=0
DO
   LET sa0=smax ! A軍の初期兵士数
   LET sb0=sa0*.85 ! B軍の初期兵士数
   LET al=.1 ! A軍の武器効率
   LET be=.15 ! B軍の武器効率
   LET dt=.01 ! 時間の刻み幅Δt
   LET t=0
   DO
      LET sa=sa0-be*sb0*dt ! A(t+Δt)=A(t)-βB(t)*Δt
      LET sb=sb0-al*sa0*dt ! B(t+Δt)=B(t)-αA(t)*Δt
      SET LINE COLOR 2
      PLOT LINES: t,sa0; t,sa
      SET LINE COLOR 4
      PLOT LINES: t,sb0; t,sb
      LET sa0=sa
      LET sb0=sb
      IF t=reintime THEN
         LET sa=sa+reins
         SET LINE COLOR 2
         PLOT LINES: t,sa0; t,sa
         LET sa0=sa
      END if
      LET t=t+dt
   LOOP UNTIL sb<=0 OR sa<=0
   INPUT  PROMPT "増援のタイミング":reintime ! 0を入れると実行終了
   INPUT  PROMPT "増援数":reins
   SET COLOR MIX(2) 0,0,1-count
   SET COLOR MIX(4) 1-count,0,0
   LET count=MOD(count+0.2,1)
LOOP UNTIL reintime=0
END

スポーツ科学,錯視の数理,キューブパズル(4年ゼミ)

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一人目,スポーツ科学.
先回から慣性モーメントを題材に動かしやすい足の形を考える方向へ.
長方形から始めて一部を切って別の場所に貼り付けるとモーメントがどう変わるか,
といった計算をしてきた.よくよく慣性モーメントの定義を見えれば,
回転軸からの距離を変化させない変形ならモーメントが変わらないし,
比較的に自由に分割もできる.
ちらりと計算した範囲では,長方形から移動すると
モーメントが増えてしまう場合ばかりだったが,
いやいや,もう少し詳しく見てみよう,と次回の課題に.
ところで当大学,体育科もあるため,スポーツ科学関連の書籍が結構ある.
当人,何やら本を借りて調べている模様.

バイオメカニクスと動作分析の原理

バイオメカニクスと動作分析の原理

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二人目,錯視の数理.
先回からモアレを始めている.前回やって見せた方法をまねて,
同心円と平行線で周波数が違うう場合の模様を見てきたようだ.
うまく近似すれば確かに楕円や双曲線が現れる.
調子に乗って同心円同士を計算.さて,今度はもう少し慎重な近似が要るようだ.
取りあえず本日中には解決せず来週に.
さてさて錯視に戻れるだろうか?

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三人目,キューブパズル.
ずっと詰まっているスキューブだが,どうやら本当に例のテキストの記述は間違っているようだ.
というのも,テキストとは異なる,正確にはテキストにある群の部分群が
スキューブ群となるようなのだ.つまり,テキストでは想定されている,
実際にはあり得ない操作を探して数週間費やしてしまったらしい.
実際にはA4一つ分小さい群のようで,それなら色々としっくりくる結果だ.

それと,今回ゼミ生が持ってきた最大の発見は,
実はデカミンクスはスキューブにおける1面体を2面体に拡張したものだ,
という事実だ.これにより,この先行われるであろう研究が大幅に進むことになる.
のみならず,ルービックキューブに1面体の向きまで考慮した話にも関連付けられ,
一気に話題が豊富になったことだ.面白い!

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

戦争の数理,シュートの数理(4年ゼミ)

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一人目,戦争の数理.
もうすっかり複雑ネットワークモデルは諦めて,微分方程式一本で進むことにした.
先回,1次法則と2次法則を連続に結びつける微分方程式モデルを紹介したのだが,
それに何らかの形で答えてくるかと思ったら,最初で躓く.
まぁ,仕方ないというわけで当人が調べてきたという3次法則モデルを見た.
で,その方法を見ればα次法則が導かれるモデルも容易に考えらると分かった.
そこまではきちんとLaTeXにしてきてもらうのと,
その先に考えるモデルとして3つ巴戦,あるいは部隊のネットワークで支援しあうモデル,
などなど展開できそうなことをボヤッと考えた.

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二人目,シュートの数理.
気づけば3時間半やったのだけど,これといった収穫が得られず.
つまり何を問題にするのか,という大問題と,
差し当たり最小化すべき式が現れてもそれを定性的に説明する方法が見出だせていない,
という二重の意味で停滞しているわけだ.
う~ん.次回までおあずけ.

和音のトポス(4年ゼミ)

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和音のトポス.
おそらく当人的には行き詰まり感たっぷりなのだろう,
以前のような勢いがここしばらく感じられない.
それはともかく,今回は{0,1,9}=CE♭Gからのupgradeとして
CE♭Gに関わる4音和音がどう見えるのか,を見てきてもらった.
{0,1,9}をminimal invariant にするmonoidの生成元として
3t+4と8t+1を取ると{0,1,4}=CEGのときと同じCayley graphが現れ,
したがってsubobject classifierのlatticeが同じ形になる.
あれ?それはたまたま?...なのではなく,monoidの同型に関する
ある事実を以前に読んでいたのだった.
さてそうするとCEGに付随するmonidと同型になる他のtriadも気になる.
ちょっと調べてみると以下の5つが現れた.
-tでCFG#となりこれはminor triad,
-2tでCEB♭となりこれは(論文中では)stretched triadと読んでいて,
いわゆる7th chordの3rdを抜いたものだ.
そして2tではCDG#.これ並べ替えるとDG#Cで,
これにFを追加すると,そう!Tristan和音だ!

と,ここまでは調子よく音楽的に意味ありげなものが現れたが,
残り二つ5tと7tによるものが少々萎える結果に.
5tではCG#B,これだけだと何とも響きがよろしくない.
7tではCC#E,もうどうしてくれよう.

この先,無理やり解釈しても良いのだが,
なにしろこうしてclosed voicingになってしまう原因がZ12で考えるからでは?
と拡張してみないかと以前から誘っている話題に振る.
振ってはみたものの,単純にZ24にすれば良い,ということでもなさそうだ.
minimal invariantの意味を少し緩める,
つまりZ24からZ12に落とした意味でinvariant
としないとCEGですら非自明なmonidができなくなってしまうんだな.

ところで最近手に入れた↓面白ね.

圏論の歩き方

圏論の歩き方

スポーツ科学,錯視の数理,キューブパズル(4年ゼミ)

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本日一人目,スポーツ科学.
とりあえず先回までで撃心と飛距離の話はまとまる.
で,これからいよいよ当初目的のランニングの数理モデルへ.
できるだけ使うエネルギーの少ない足の運び方を研究しようと.
早速,そして再び慣性モーメントの話へ.
何やらバイオメカニクスの本を借りてきており,
今日は平行軸の定理を見てきたとのこと.確かに使えそうな道具だ.
その先にどのように問題を定式化し,数理モデルを作り,分析するか,
これが問われることになるが,果たして.

バイオメカニクスと動作分析の原理

バイオメカニクスと動作分析の原理

スポーツバイオメカニクス20講

スポーツバイオメカニクス20講

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二人目,錯視の数理.
もうずっと数式が現れないゼミとなっていたが,
先回思い切ってモアレに舵を切ってもらい,見てきてもらう.
簡単な図形同士なら三角関数の和積ひとつでモアレが見えてくる.
実際直線同士,同心円群及びそれと同じ間隔の平行線によるモアレが
確かに数式の上でも出てくることをやってみせた.
ではその先やってきてごらん,とボールを渡した.
それが片付いたら,白黒模様を動かすと現れる錯視に進みたいんだ.

視覚の心理物理学 POD版 (最新応用物理学シリーズ3)

視覚の心理物理学 POD版 (最新応用物理学シリーズ3)

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三人目,キューブパズル.
もうずっとスキューブの群が最後の最後で定まらず停滞中.
しかし,もう一度テキストにあることを忠実に読んでみたら,
その記述自体にどうやら矛盾があることが発覚.
あれこれ我々で手を動かして見てきた事実ともどうも符合しない.
え,実は間違っているのか?こんなよく読まれている本でそんなことがあるのか?
ということで,再度半直積の様子を見てきてもらうのと,
デカミンクスの分析へと動くことに.

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

スキューブ

スキューブ

デカミンクス

デカミンクス

戦争の数理,シュートの数理(4年ゼミ)

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一人目,戦争の数理.
突然巨大な行列を書きだした.円状に敵味方が並んでいる時に
両隣からも攻撃を受けるモデルを考えてみようなんて言ったからだった.
まぁ,固有値固有ベクトルの定義から怪しいようだったから,
それ以上は突っ込まないことにした.
代わりにランチェスター則の変形を色々考えていこうと勝手に画策している.
味方が多いほうが同じ攻撃を受けても防御しやすく,
したがって被害が抑えられるだろう,というモデルだ.
こうすると1次法則と2次法則が滑らかに繋がる.
当人も,ロジスティックモデルが戦争モデルになるのでは,と調べてきたようだった.
うん,もう微分方程式一本で行こう.

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二人目,シュートの数理.
カーブするシュートの場合だが,元のモデルでアホなことをやっていたことに気付く.
で,修正したら空気抵抗を無視したなら結局,円を描くシュートということになった.
で,それについての議論は今年度最初の頃に幾何学的に解決していた.
しかし,そろそろ話をまとめたものが欲しいのでLaTeX打ちに進んでもらう.
しかしなぁ,円モデルは殆ど幾何学的に示せたはずなのに,
ちゃんとノートになかったようで,ちゃんとあの議論が再現できるだろうか?

和音のトポス(4年ゼミ)

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和音のトポス.方向性が決まらないままここまで来た.
本日は最後の試みとしてLawvere-Tierney topologyによる,
triadのupgradeという概念について読んできてもらった.
相変わらずカテゴリカルな表現や定義には戸惑うけど,
エイヤッと,要するにこんなことを言いたいらしい,
と予想しながら具体的な楽曲分析の部分を見てみたら,何となく意味が分かってきた.
例えばCEGB♭のいわゆる7thコード,これをCEGのupgradeと見ると
B♭はcosieve R由来だ,という主張になるし,
Stretched triadとしてCEB♭からのupgradeと見ても,
Gはcosieve R由来と結論される.おやおや.
ではMaj7th CEGBでは.これをCEGのupgradeと見るとBはcosieve L由来と計算される.ほう.
つまり,楽曲において各小節の中心的なvoiceをtriadで捉えたとき,
その他の音達をtriadのupgradeと見たときそれがどのcosieve由来なのか,
ということによってそこに成り立っている和声の特徴を捉えようという感じなのだ.

う~ん,それにしても不思議だ.
そもそも倍音関係を重視した協和音程という考え方からコードはできているであろうに,
Tone perspectiveは一見それとは無関係の操作をしているようなのだ.
にも関わらず,これまでのところ,
トポスによる和音の香り付けは上手くいっているように見える.
なぜだろう,たまたまなのか,背後に理屈があるのか?
まぁいい.この数年来ずっと気になっていたトリスタン和音を
ようやくトポスの言葉で記述できるところまで来たようだから.

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錯視の数理,キューブパズル(4年ゼミ)

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午前は研究授業で不在だったから今日は午後の部だけ.
一人目,錯視の数理.輝度について読んできた,という.
でも厳しかったみたい.
もうそろそろ数学にしなければならないから,
モアレ現象の数理を調べてくるように指示した.
今度は進むかなぁ,どうかなぁ...

視覚の心理物理学 POD版 (最新応用物理学シリーズ3)

視覚の心理物理学 POD版 (最新応用物理学シリーズ3)

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二人目,キューブ群.
まだ解決しないスキューブ群の決定.
基本操作に対応するA4の過剰な生成元によるCayley graphを
描いてきてもらってどのclosed loopも3の倍数step必要なこと
を示そうとしている.
で,上手く描けなかったようだからその場で始めてみた.
でも3の倍数でないloopも出てくる.ありゃ?
となったところで,基本操作に対応する生成元のとり方を
間違えていたことに気付いて,振り出しに戻る.
さて,次回までにできているかな?

で,デカミンクスにはいつ入れるのだろう?

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

シュートの数理(4年ゼミ)

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シュートの数理.午前は教育実習の研究授業のため本日はこれ一つ.
もうすっかりシュートコースとキーバーの動き方に話を固定.
平面ではなく今度は空間的にボールを浮かせたシュートについての考察へ.
まずは回転によるカーブは無いものとした場合,要するに斜方投射だ.
結局は計算しやすいように座標系を上手く取り直しての考察だ.

っと,平面でカーブする場合もまだ最適位置については決着していない.
曲がりが膨らんでいる場合もまだやってない.
これら全ての問題は最適位置の値が重要なのではなくて,
その位置の定性的な性質,直線シュートと比べてどうかとか,だ.
もう,この際だから色んなシュートコースについて
全て調べあげてもらおうか.それはそれなりに形にはなると思う.

和音のトポス(4年ゼミ)

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和音のトポス.
4和音でTonePerspective(TP)による同様な議論ができないか考えてきてもらった.
こうしてTPのmonoidを眺めていると,まずはTPの数学的構造を
もっとよく把握せねばいろいろ見落としたまま事を進めそうだ,
基礎研究が必要だという気がしてくる.それでもそれは何ヵ年か計画で行うこと.
卒論作成にはあと100日も使えないのだから.

さて,数理音楽ということを忘れてこのmonoidの数学的性質を調べあげる,
という方向で進むのもありだが,まだ何とか数理音楽として粘りたい.
なのでもう一度だけNollによるLawvere-Tierney topologyを用いた
triadのupgradeの仕方をざっくりと見てきてもらうことにした.
どうなるかなぁ...

スポーツ科学,錯視の数理,キューブパズル(4年ゼミ)

f:id:okiraku894:20151009120552j:plain
本日一人目,スポーツ科学.
何やら剛体のエネルギーの話を始めだした.
どこへ行きたいのかなぁっと聞いてたら,
ランニングに関する研究を目指すそうだ.
関節が入ってきて力学的に複雑になるけど,どこまでやれるかね.
それはそうとバットの話もまとめて欲しいし,バットの形状と絡めて
足の筋肉の最適形状という方向もあるよね.今後どうなるかいね.

スポーツバイオメカニクス20講

スポーツバイオメカニクス20講

f:id:okiraku894:20151009145436j:plain
二人目,色の錯視.ついについに本当にここまで数式らしい数式も現れない.
でも実験道具だけは作ってきた.車輪はいらないと思うけど.
おいらもディスプレイ上で実験できるようBASICで作った.
マウスのY座標を大きくすると速く動き,X座標を大きくすると3本線が長くなる.
左クリックで逆回転,右クリックで終了だ.
f:id:okiraku894:20151009191846p:plain

REM [Benham]
REM Ver. 2015/09/25

SET WINDOW 0,10,0,10
SET LINE width 5
!SET COLOR MIX(0) 0.1,0.1,0.1
LET bl=0
SET COLOR MIX(1) bl,bl,bl
SET LINE COLOR 1
LET sw=1/SQR(5)*.1
DO
   mouse poll mx,my,left,right
   IF left=1 THEN
      LET sw=-sw
      WAIT DELAY .2
   END if
   SET DRAW mode hidden
   CLEAR
   PLOT AREA : x,4; x+5,4; x+5,6.5; x,6.5
   PLOT AREA : x-10,4; x-5,4; x-5,6.5; x-10,6.5
   FOR k=0 TO 11
      LET g=INT(k/3)*1
      PLOT LINES : x+5+g,4+k/5; x+5+mx/2+g,4+k/5
      PLOT LINES : x-5+g,4+k/5; x-5+mx/2+g,4+k/5
   NEXT k
   LET x=MOD(x+my*sw*1.5,10)
   SET DRAW mode explicit
LOOP UNTIL right=1
END

しかし,これはこれとして一体どう数学的に膨らませるのだ?
モアレ現象と絡めてお茶を濁す程度になるのかなぁ...

サイエンスの香り―生活の中の数理

サイエンスの香り―生活の中の数理

色の科学―その心理と生理と物理 (色彩科学選書)

色の科学―その心理と生理と物理 (色彩科学選書)

f:id:okiraku894:20151009171625j:plain
3人目,キューブ群.
そろそろデカミンクスに入りたい,と思いつつスキューブが解決しない.
二つの問題点の一つ,位置を変えず向きだけ変える操作については,
A4の冗長な生成元によるCayleyグラフ上のループを考察する
というところまで話はまとまりつつある.こちらは何とかなりそう.
でももう一つ,任意の3面体3つのみの位置を変える操作が
発見できずにいるとのこと.困ったぞ.

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

戦争の数理,シュートの数理(4年ゼミ)

本日は思うようにゼミ生が来ない日だった.
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f:id:okiraku894:20151007130526j:plain
一人目,戦争の数理.
直前になって「話がまとまってないから明日にしたい」と連絡が来た.
いやいやいや,1日経ったところで何も変わらないことは明白.
それなら来て議論を進めるほかないでしょ.
実際のところ,最も話を膨らましづらい状態になっていて,
とにかく時間を決めて自分も考えるようにしないと,
このままズルズル提出期限になってしまう大変危機的状況.
その昔題材にした格子モデル上の数理生物学を援用する,
ってのも方向性としてはあるけれど,苦労の割に報われなかった記憶がある.
最終的には兵力の推移を見たいのだから,何か適当なモデルで
ランチェスター則の連続変形といったものが出来ないものか,と.
う~ん,方向が定まらないね...

「空間」の数理生物学 (シリーズ 数理生物学要論 巻2) (シリーズ数理生物学要論)

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f:id:okiraku894:20151007155916j:plain
二人目,シュートの数理.こちらは「二日酔いのため」時間に起きられず,
電話を二度した結果,1時間遅れの開始.
そしておよそ2ヶ月ぶりの再開.何やってたかすっかり忘れたよ.
え~っと,回転の掛かったシュートを考えていて,
微分方程式と計算しやすいようにした近似解出して,
で,ボールとキーパーの移動時間比の最小値を出そうとしてたんだっけ.
でも結構厄介な式になったのでとりあえずグラフ描かせてみて様子みよう,
というところだった.
う~ん,このままシュートとキーパーの挙動で押すかな.
もうちょっと面白い題材に出来ないかな...