ゼミの風景

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終盤ゼミ2(4年ゼミ)

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本日はピタゴラス数とマッチングと待ち行列.
2次元はまとまったのだけど3次元はどうするのかなぁ...
と思っていたピタゴラス数について,何と当人が変換行列を見つけてきた.
これは嬉しい発見だ.そしてもしかすると本当に新しい発見かもしれない.
しかし,この行列の仕組み,何だろうなぁ...
何だろうと思いつつ,時間切れで深められないだろうなぁ...

ピタゴラス数(4年ゼミ)

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一人目,ピタゴラス数,年末の補足ゼミ.
トポロジカルインデックスとはすっかり縁を切り,
ピタゴラス数のネットワークを俯瞰する話となってしばらく.
卒論としてまとめるために,まずは2次元ピタゴラスを整理しようと,
ここまでの話を総合する.
2パラメータレベルのネットワークと,3辺表記したときのネットワーク.
この間の関係をきちんと記述し,頂点間の移動を表す変換を求め,
そうして全体像を一度眺めようということだ.
その後,3次元へと進むわけだが,さてさてどこまでまとめられるか.

トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

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ピタゴラスの三角形とその数理 (数学のかんどころ 6)

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マッチング理論,ピタゴラス数,数理手品(4年ゼミ)

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一人目,マッチング理論.卒論に載せる丁度いい例を探して.
5人の先生と20人の学生がゼミ配属するという,生々しい話で進める.
完全成績順から教員側選好順序を考慮に入れたモデルまで,
様々なパターンで学生側DAアルゴリズムを行って,互いの満足度を測るという寸法.
それと何だか卒論をストーリ仕立てで書きたいとのことで,
まぁ,そのへんは任せた.

マーケットデザイン入門―オークションとマッチングの経済学

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メカニズムデザイン―資源配分制度の設計とインセンティブ

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二人目,ピタゴラス数.およそ一ヶ月の手術期間を経て戻ってきた.
しばらく全くノータッチだったこの話題,卒論としての落ち着き先を探す.
とりあえずは2次元ピタゴラス数の生成過程についての分析を書いて,
その真似をして3次元に拡張するものの,2次元で上手く行っても
3次元で上手くいかない点をまずはきちんと整理しようということに.

トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

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ピタゴラスの三角形とその数理 (数学のかんどころ 6)

ピタゴラスの三角形とその数理 (数学のかんどころ 6)

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三人目,数理手品.Gergonne トリックにおいて,カード枚数が冪乗型では
任意の位置のカードを出現させられる.
その証明をしてくることとなっていたが,あと一歩のところまで示してきた.
そのアイディアなら,これで完成,と最後を埋めた.
これで大体の形は出来上がったかな.あとは,きれいに書きあげることだ.

音声分析,天体力学,待ち行列(4年ゼミ)

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もう,添削が主になってきた.

一人目,音声分析.どうにも「あ」のフォルマントが実験では拾えないでいる.
一体どこに原因があるのか?
なぜ冒頭の短時間部分しか合成結果として採用してはいけないのか?

新音響・音声工学

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Excelで学ぶ理論と技術 フーリエ変換入門 (Excel技術実践ゼミ)

Excelで学ぶ理論と技術 フーリエ変換入門 (Excel技術実践ゼミ)

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二人目,天体力学.
自転する惑星が扁平になる理由を追って.
結局,遠心力ポテンシャルを加えた重力ポテンシャルから,
その等ポテンシャル面が満たすべき微分方程式を求め,
しかしそれは解けないのでBASICでシミュレーションということに.
自転速度の上昇と共に,扁平になっていく様子が見て取れる.
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天体と軌道の力学

天体と軌道の力学

例題でわかる待ち行列理論入門

例題でわかる待ち行列理論入門

数理手品,マッチング理論(4年ゼミ)

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一人目,数理手品.
Gergonne trick において,選ばれたけど術者の知らないカードを
好きな位置に持ってくる方法についてきちんとやっていなかったことに気づく.
で,なぜそうなるかをちょっと確認してみると,
下の位から名前をつけていくと最終的に番号がきれいに並ぶことが分かる.
さて,これをきちんと帰納法で証明しよう.というところで次回.

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二人目,マッチング理論.
一対多マッチングの対戦略性についてはついに追えなかったのだが,
卒論的に絶対に上手い例が必要なので考えてきてもらう.
ただ,当人,どのようなストーリーで展開すべきか迷っていたらしく,
とりあえずこちらの思い描く絵を語ってみた.できるかな?

マーケットデザイン入門―オークションとマッチングの経済学

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メカニズムデザイン―資源配分制度の設計とインセンティブ

メカニズムデザイン―資源配分制度の設計とインセンティブ

音声分析,天体力学,待ち行列(4年ゼミ)

一人目,音声分析.とにかくEXCEL上で「あ」の再現.
どうやら,冒頭短時間の線形予測係数で計算させないと
フォルマントが消えてしまうらしいことが,試行錯誤の中から分かってきた.
現象としてはどうもそうなのだが,なぜそうなるのか数式上は明らかでない.
それでも何とかまだ実験は進めそうだ.

新音響・音声工学

新音響・音声工学

Excelで学ぶ理論と技術 フーリエ変換入門 (Excel技術実践ゼミ)

Excelで学ぶ理論と技術 フーリエ変換入門 (Excel技術実践ゼミ)

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二人目,天体力学.
惑星が扁平になる理由を追ってはや3週.
等ポテンシャル面が角速度変化によってどう変わるかを追えばいい.
少なくとも等ポテンシャル面上での接ベクトルたちは表現できる.
ここまでくればたとえ解析的に解けずともシミュレーションならできる.
何とかなるかな.

天体と軌道の力学

天体と軌道の力学

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三人目,待ち行列.
軽い気持ちでリトルの公式証明してみようか,と始めたが,
意外と細かいことを丹念に見なければならないことが分かってきて,
どこかを図で誤魔化すことになるのかな.さてさて.

例題でわかる待ち行列理論入門

例題でわかる待ち行列理論入門

音声分析,天体力学,待ち行列(4年ゼミ)

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一人目,音声分析.sin波一つから「あ」を発声させる試み.
前回は相関行列に使ったサンプル数が少なすぎて
短時間音声にしかならなかったこともあって「あ」にならなかった.
今回はサンプル数を増やし,線形予測係数を求めて
近似的な逆変換をsin波に施したものを聴かせてもらった.
が,どうもsin波とあまり変わらない.
逆変換を低次近似したから,と言う報告が当人からなされた.
なるほど,そうかもしれない.
一方で予測係数を求めるための「あ」の基本周波数が
合成元のsin波の周波数と違っていることも作用していたのかもしれない.
ということで,もう少し高次の項まで取り入れた計算をしてきてもらうことに.

新音響・音声工学

新音響・音声工学

Excelで学ぶ理論と技術 フーリエ変換入門 (Excel技術実践ゼミ)

Excelで学ぶ理論と技術 フーリエ変換入門 (Excel技術実践ゼミ)

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二人目,天体力学.惑星の扁平理由を追い続けている.
重力の等ポテンシャル面として惑星の表面を捉える,
というところに前回落ち着いたのだが,
形を決めないとポテンシャルが定まらず,
しかしポテンシャルを決めないと形が定まらない,という堂々巡りに.
けれど,最終的な重力の向きは等ポテンシャル面に垂直だ,
という一点によって形が定まるはずなんだ.なんだがなぁ...

天体と軌道の力学

天体と軌道の力学

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三人目,待ち行列.真赤にしたLaTeX添削を返してから,
証明されていなかった「リトルの法則」を改めて説明してもらう.
確かに直感的にはそうなるはずのことなんだが,それをきちんと数式で記述したい.
その場では上手くまとめられなかったのだが,
あ,そうか,到着順に積み上げていけば良いんじゃないか.

例題でわかる待ち行列理論入門

例題でわかる待ち行列理論入門

数理手品,マッチング理論(4年ゼミ)

一人目,数理手品.ただ,殆どLaTeX添削.
そういえば Gergonne magic も down-under shuffle も
好きな位置にカードを持ってくる方法について考えていなかった.
そこで,これを宿題としてみた.

次はトポロジカルインデックスのはずだが,
手術入院のためしばらく無し.

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二人目,マッチング理論.
1対多の対戦略性の証明を巡って前回行き着いた論文の読解.
マッチングを契約単位に分解して考えるやり方で,
当初は面食らったものの,こちらのほうがスッキリした表現ができそうだ.
もちろん難解さは変わらない.
可能ならこの形式で全編を書き直したいものだが,どうするかね.

マーケットデザイン入門―オークションとマッチングの経済学

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メカニズムデザイン―資源配分制度の設計とインセンティブ

メカニズムデザイン―資源配分制度の設計とインセンティブ

音声分析,天体力学,待ち行列(4年ゼミ)

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一人目,音声分析.sin波から「あ」を発生させる試み.
EXCEL上で実際に試みてきたようだ.
サンプル数が少ないことと,
相関行列を計算するのに少ないサンプルで作ってしまったことから
おそらくフォルマントが消えてしまってまだ「あ」には聞こえない.
それでも線形予測計算などを実行して何か合成してきた点,評価できる.
さて,次週にはフォルマントが捉えられているだろうか?

新音響・音声工学

新音響・音声工学

Excelで学ぶ理論と技術 フーリエ変換入門 (Excel技術実践ゼミ)

Excelで学ぶ理論と技術 フーリエ変換入門 (Excel技術実践ゼミ)

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二人目,天体力学.惑星が扁平になる仕組みについて.
素朴な力学だけで追いかけようとしたものの,
それでは惑星が自転軸方向に長くなる結果になってしまって詰まる.
結局重力と遠心力の合力の等ポテンシャル面として捉える,
というところへ落ち着かせることとなった.ああ,でも計算大変かな.

天体と軌道の力学

天体と軌道の力学

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三人目,待ち行列.定性的な性質の証明を求めて.
今回は待ち人数0の確率が窓口数に関して単調増加であること,
そして前回は効率に条件付きで示した,
平均待ち人数が窓口数の単調減少関数であること,
の二点を何とかその場で証明した.
さて,あとは現実への適用を試みることだが,
レジ待ちモデルでどんな提案ができるだろうか?

例題でわかる待ち行列理論入門

例題でわかる待ち行列理論入門

数理手品,トポロジカルインデックス,マッチング理論(4年ゼミ)

一人目,数理マジック.こちらはとにかくLaTeX打ちに集中してもらう.
よって写真なし.

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二人目,トポロジカルインデックス,といいながら
ピタゴラス数の高次元版の探索.
当人,今月末より入院となりおそらく年内最後のゼミとなるかと.
で,病院で考えてきてもらうネタをあれこれ提供中だが,
一方で当人もかなり色々試行錯誤をしてきていた.
l,m,n 表現での変換行列探し,結局のところ
\[
l+m+n\equiv 1 \pmod{2}
\]
なる自然数全体を渡り歩ければ良いわけだが,
それを例えば斜辺とある一辺の差が不変となるようにしながら渡り歩くと
系列がきれいに見えるようだ,という通常のピタゴラス数の経験があって,
ややそれに振り回されているかもしれないとも思いつつ,
この路線で進めてもらうことに.

トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

ピタゴラスの三角形とその数理 (数学のかんどころ 6)

ピタゴラスの三角形とその数理 (数学のかんどころ 6)

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三人目,マッチング理論.
一対多のDAマッチングの対戦略性の証明,3週目.
しかし本日も進まず.う~ん,となったところで文献探し.
さしあたりpdfが落ちてはいた.
Group Incentive Compatibility for Matching with Contracts
で,次回までに解読してきてもらうことに.こんどこそ,進むかな.

マーケットデザイン入門―オークションとマッチングの経済学

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メカニズムデザイン―資源配分制度の設計とインセンティブ

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音声分析,天体力学,待ち行列(4年ゼミ)

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一人目,音声分析.
EXCEL上で単純なsin波から「あ」の合成音を作ろう,という試み.
「あ」音の録音サンプルから線形予測係数を求め,
それをsin波に被せて「あ」音を再構成するわけだが,
VBAを使わずEXCEL上で行うのはなかなか大変だろうとは思う.
思うが,一度やってみたい試みなわけで.さて,どうなるかね.

新音響・音声工学

新音響・音声工学

Excelで学ぶ理論と技術 フーリエ変換入門 (Excel技術実践ゼミ)

Excelで学ぶ理論と技術 フーリエ変換入門 (Excel技術実践ゼミ)

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二人目,天体力学.
惑星が扁平になる仕組みをきちんと追いかけようとしている.
一般には「遠心力が赤道付近は大きいから」と片付けられているが,
それは雰囲気で説明しているだけであって証明したことにはならない.
で何をどうとっかかりにすれば良いのか,
と議論しているうちに分からなくなってきた.うん,また次回.

天体と軌道の力学

天体と軌道の力学

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三人目,待ち行列.定性的な性質をある程度示そうと,
前回は平均待ち人数が窓口数で単調減少していくことを示そうとして失敗.
今回再度挑戦で,あれあれ,上手く証明できてしまった.
これである程度はまとまった結果が出せることになる.
さてもう,どんどんLaTeX打ちに邁進してもらう時期だ.

例題でわかる待ち行列理論入門

例題でわかる待ち行列理論入門

数理手品,トポロジカルインデックス,マッチング理論(4年ゼミ)

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一人目,数理手品.UDアルゴリズムの具体的な場合への適応.
UD列が D^{\ell-1}U のような形の場合,\ell冪回の操作が区切りとなって
物事が制御できているのだけど,そのことをきちんと証明したい.
きちんと観察すると\ell進数表現した証明となるのだけどきちんと書けるかな?

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二人目,トポロジカルインデックス.高次元ピタゴラス数間の変換行列探し.
しばらく全く手がかりもなく時間だけが過ぎたのだが,
やがて学生自身が上手い不変式を見つけた.
EXCELで沢山の系列を作って観察していたおかげもあるのだろうが,
どうやら d-b=(l^2+m^2+n^2)-2lm を固定した列を考えると
法則が見えるらしい.
で,本日見つけたのが d-b=5 のシリーズで,
\[
\frac{1}{3}
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 2\\
2 & 1 & -1\\
3& -3 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
l\\ m\\ n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
L\\ M\\ N
\end{pmatrix}
\]とおけば,
\[
d-b=(l^2+m^2+n^2)-2lm=(L^2+M^2+N^2)-2LM=5
\]と変換によって不変となった.おやおや,不思議だ.
同様に d-b=4k+1 型で同様な変換が見つかるだろうか.



と,不思議だと思われたのは一日限りで,よくよく考えれば当たり前だった.
上記行列は結局
\[
L-M=n,\qquad N=l-m
\]と変換しているので,
\[
(l-m)^2+n^2=(L-M)^2+N^2
\]が常に成り立つわけだ.
トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

ピタゴラスの三角形とその数理 (数学のかんどころ 6)

ピタゴラスの三角形とその数理 (数学のかんどころ 6)

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三人目,マッチング理論.一対多バージョン対戦略性で苦戦中.
本日も前回の証明を遡るも,途中で路頭に迷う.
一度頭をまっさらにして素朴に直感的に「おかしい」と感じられるところまで
手を動かして考えてみるほかはなかろう.
それにしても,何とも議論しづらい分野だ.

マーケットデザイン入門―オークションとマッチングの経済学

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メカニズムデザイン―資源配分制度の設計とインセンティブ

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音声分析,天体力学,待ち行列(4年ゼミ)

一人目,音声分析.前回でほぼ理論は片がついたつもりでいて,
今後は具体的に音声にこれまでの理論を適用してみる段階だ.
EXCELによるWAVファイル編集のヒントにと前回渡した
テキスト付属のCDが読み込めなかったとのことでここでトライ.
おや,読み込めて作業もできる.本日はその確認まで.よって写真なし.

新音響・音声工学

新音響・音声工学

Excelで学ぶ理論と技術 フーリエ変換入門 (Excel技術実践ゼミ)

Excelで学ぶ理論と技術 フーリエ変換入門 (Excel技術実践ゼミ)

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二人目,天体力学.前回完全に惑星環が薄くなるわけについて示した.
が,そもそもなぜ惑星が扁平になるのかについての
きちんとした力学モデルを考察しようという今回.
確かに当人が調べてきたように,潮汐力による変形と(木星のイオが典型だ)
時点そのものに因る扁平とは別物で,焦点をあてるべきは後者.
遠心力で説明することになるが,そこにある程度の力学モデルを立てたい.
立てたい,というところで終わった.

天体と軌道の力学

天体と軌道の力学

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三人目,待ち行列.
複数窓口モデルでの平均待ち人数が窓口数で単調減少することを示したい.
で,2時間ほど粘ったものの,窓口数のパラメータが嫌な絡み方をして
ギリギリのところで不等式が覆され,どうもさっくりと評価できない.
おかしいなぁ,素朴に考えると減るはずなのになぁ...と,次回持越し.
もう一度,具体的な数値でシミュレーションしてきてもらうことに.

例題でわかる待ち行列理論入門

例題でわかる待ち行列理論入門

トポロジカルインデックス(4年ゼミ)

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トポロジカルインデックス番外編.
今月下旬から病院入してしまうそうなので急遽本人希望に因るゼミ.
ピタゴラス行列の多次元版を目指している.
珍しくこちらも会議がまったくなかったこともあって午後中付き合うことに.
議論が右往左往する中,結局次の問題にたどり着いた.



\[
T
\begin{pmatrix}
l\\m\\n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
L\\M\\N
\end{pmatrix}
\]
として
\[
X
\begin{pmatrix}
l^2-m^2-n^2\\
2lm\\
2ln\\
l^2+m^2+n^2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
L^2-M^2-N^2\\
2LM\\
2LN\\
L^2+M^2+N^2
\end{pmatrix}
\]
となる行列T,Xを求めよ.


実際,ピタゴラス数については
\[
\begin{pmatrix}
2 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
l\\m
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
L\\M
\end{pmatrix}
\]
とすれば,例えば
\[
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 2\\
2 & -1 & 2\\
2 & -2 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
l^2-m^2\\
2lm\\
l^2+m^2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
L^2-M^2\\
2LM\\
L^2+M^2
\end{pmatrix}
\]
と実現できている.さて,あるのかな?ないのかな?
トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

ピタゴラスの三角形とその数理 (数学のかんどころ 6)

ピタゴラスの三角形とその数理 (数学のかんどころ 6)