一人目，天体力学．
惑星環が薄い理由を追求している．前回どこかのサイトで
それが惑星が扁平なことによるとの記述を当人が見つけ，
ではそれの仕組みをきちんと数式で追ってみようということになった．
なったのだけど，その計算はまともにやるとちょいと大変．
で，方針を変えて（というか初めからそう考えれば良かったのだけど）
重心をちゃんと計算して，質点での議論に還元することとなった．
ところでこの議論をしていて気付いたのだけど，
通常地上で物体の重心を考えるとき，一点で支えて釣り合う場所，
なんて呑気な理解をしているのだけど，
天体ともなるときちんと万有引力で考えねばならない．
といったところでその先の計算をしてきてもらうことに．
定性的にでもわかれば良いんだ，とりあえず．
一人目，トポロジカルインデックス．
先週からセクションが変わり，ペル方程式へ．
まずは非平方数の平方根の連分数展開の性質について．
いつも具体的な数値で目の子で計算する連分数を敢えて文字のまま展開してみた．
次に連文多項式とのつながりで毛虫グラフによる計算とその意義を考えた．
最後，ペル方程式の整数解の存在云々について，あれこれ議論．
再度バランスをとる数の話をしてみた．
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トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学
一人目，音声解析．
もうすっかりやりかけていたことを忘れてしまっていたが，
そうだ線形予測の話になったところだった．
特にPARCOR係数が出てきたところで詰まったのだった．
本日改めてそこまでの概略を見たところ，幾つかの疑問は解決．
じゃぁ，その仕組みをきちんと数学的に追ってみよう，ということに．
実際に音声合成までいけるとよいね．
二人目，待ち行列．
こちらはテキストに従って淡々と進んできたが，
そろそろ具体的な問題にしていきたい．
今回問題として提案したのは
複数窓口モデルで待ち人をグループ分けしたほうが良いのか，ということだ．
具体的に数値を当てはめて，まずは感触を掴んできてもらうことに．
二人目，天体力学．
「土星のリングはなぜ薄いのか」がテーマでやってきた．
まともに探すとなかなか文献が見つからないので，
上手い問題設定をし直す必要がある．
で，あれこれ検索してもらっているうちに，
土星など赤道方向に扁平な惑星特有の現象だという記事を見つける．
ではそのことを実際に数式で示してみよう，ということになった．
扁平惑星内の各点からの微小重力を合計すればよいわけで，
まずは何とか話になりそうだ．あとは当人に任せた．
一人目，トポロジカルインデックス．
こちらも数カ月ぶりの再開となるが，
今回は単環グラフのトポロジカルインデックスの計算と，
それにまつわる関係式の導出．ちょうどリハビリには良い．
このまま行くとグラフ多項式関連へと深入りしていって，
当初の目的であるピタゴラス数へたどり着かないので，
次回から連分数とペル方程式のセクションへ．
ちょうど「バランスをとる数」で関わった話だし．
tokidoki.hatenablog.jp
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トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学
およそ３ヶ月ぶりにゼミ再開．
一人目，数理マジック．
Gergonne系マジックについては方がついていたので，
今回からはその派生物を考えようと企てている．
とりあえず宿題にしたのが，ダウンアンダーでどのカードが残るのか，
を調べてきてもらった．
で，実際観察すると２冪枚数のときが区切りとなって容易に分析できることが分かった．
アンダーダウンにもすぐに適応できる．
で，この先はこれをやはり力学系として捉えたいわけだが，
枚数が減っていくこの話，どうやって力学系にしようかね．
同時に扱える問題として「継子立て」がある．
まだまだ色々と遊べそうだ．
二人目，マッシングの数理．
１対１DAアルゴリズム関連については教採前までで大体片がついていた．
ちょっとやり残した，男性有利＝女性不利の証明を改めて考えた後，
入試制度などの１対多のマッチングへと話を進める．
比較的そのままこれまでの話が使えそうな感触だが，
そのあたり当人に見直してきてもらうこととした．
満足度，なる指標が入れられるともう一段話が深められそうだ．
一人目，マッチングの数理．
先回，男性有利アルゴリズムが実際に有利であること等の証明が完了したが，
それは同時に女性不利なのか？については示していなかった．今回はその証明．
行われた証明を見ると実は一般のマッチングの優劣が
男性と女性で丁度裏返しになることも示されることが分かった．これで実習前は一区切り．
二人目，数理マジック．
Gergonne系トリックの離散力学化の続き．
連続近似と元の離散力学がずっと近いままであることを
今回当人が示してきた．一部不等号の成立が怪しいところがあってそこを訂正して完成．
ところでこれは不動点が整数となる時の話で，
そうでないときは連続の場合の不動点の周りで振動することになる．
それがいつなのか？という話になり，図で観察すると答えが見えるので，
今度はそれを証明してきてもらうことに．
また， に絡んだ別のトランプマジックを見せて
その理由も考えてきてもらうことに．
さて，これで教採終了まで6人中5人のゼミは一度休止となる．
復帰後スムーズに事が進むと良いのだけどな．
というか，皆まずは受かってもらわないとね．
一人目，音声工学．
先回引っ掛かった「偏自己相関係数」の書き換えについて再び．
偏自己相関係数の計算を漸化式によって求める方法を見ているところなのだそうだが，
期待値計算ですることを見失ってしまう．
一度落ち着いてきちんとした定義に遡って始めたほうが良さそうだ．
というところで来週から実習で忘れるね．
二人目，天体力学．
惑星環については進展がなく，逃げ場として三体問題の続きを話してもらう．
回転座標系から見るとコリオリ力と遠心力が現れ，
しかし遠心力項を移行するとポテンシャルに書き換わり，
結果保存力として見られるところまで．こちらも続きは教採後となるのだね．
一人目，トポロジカルインデックス．
前回は炭化水素の異性体全体に渡るトポロジカルインデックスを計算しかけたのだけど，
膨大すぎて話途中で終わり，今日は一転して残ったテキストの演習問題を解いた．
連分多項式に纏わるもので何れも帰納的な議論で片付く．
トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学
二人目，待ち行列．有限容量複数待ち行列についてその性能評価まで．
何れの議論もこれまでとほぼ平行に可能で目新しい点は無い．
それでも具体的な数値で見てみると意外と直感に合わなかったりして
実際にシミュレーションをし始めると面白いこともあるのかもしれない．
一人目，音声工学．
というか前回当人が引っかかっていた最小二乗法の本当の最小？
の疑問に答える時間が半分ほど．
二乗和だし，連続関数だし，いや二次形式の多項式だからOKなんだけどね．
後半，音声工学では標準的に使われているらしい偏自己相関係数について．
ただし定義はしたものの色々と導出できずに終わった．次回へ．
二人目，Ring system の力学系．
前回はロッシュ限界を簡易的な潮汐力から導いた．
「では土星の環はロッシュ限界付近なの？」という疑問に答えるべく，
構成物が氷だとして具体的な数値データをあてはめると，
ロッシュ限界より1000kmほど外側にA環があるとのこと．
ただ，今のところその他のデータが見つけられないらしく，あまり話は進まず．
ゼミが終わってからNASA辺りをうろつくと色々なデータが落ちてたから，当人に送った．
次週，何かしてくるのかな？
一人目，トポロジカルインデックス．
いよいよ炭化水素のトポロジカルインデックスへ．
つまり次数が4以下の木グラフのトポロジカルインデックスを計算したいのだが，
ちょっとやってみるだけでも随分と大変だ．
なにより，枝からさらに枝が生えるので簡単な帰納法ではない．
もちろんアルゴリズム的には最長鎖を選んで端の枝を使うか使わないかで分解して
帰納的に積み上げていけば良いわけだが，
何かもっと上手い代数的操作がないものだろうか．
トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学
二人目，待ち行列．
複数窓口モデルの性能評価．途中，人数が一人増えただけで
えらく効率が上がる例を挙げたのだが，その原因がどのファクターによるものか，
目の子で調べようとしたら何だか原因がよく見えなくなった，あれれ？
一人目，マッチングの数理．
男性有利アルゴリズムが本当に男性最適解なのか？の証明が続く．
2週経って改めて見直すと，個人合理性に照らせば問題が解決できると分かった．
ところで男性有利は女性不利なのか？についてはまだ何も．
おそらく証明で利用していない，安定マッチングにはブロックが存在しないこと，
を使うのだと思うけど，証明は再び2週間後へ．
二人目，数理マジック．
Gergonne系マジックの力学系解釈．二山バージョンでの観察から
すぐにp山バージョンへ書き換えられる．
そしてGergonne力学系の大域安定点の存在は一次関数の挙動に結びつければいい．
ただ，その安定点が整数点であれば，ということ．
そうでないとき新たな状況が生まれるのでその部分の考察をしてきてもらうことに．
一人目，音声工学．線形予測理論を進める．
過去のデータの線形和として現在の値を最小２乗法で求めるということだが，
テキストでは途中，偏微分が0であることでのみ最小と結論づけていた．
で，本当にそれで良いのか，とこだわって観察をしてみる．
直感的には最大値ではなく最小値のみがありそうなんだが，
データが作る正方行列の固有値が本当に正なのかというところに話が向かい，
その正方行列が特殊な作られ方だからどうやら本当らしい，というところまで．
そこから先の証明は任せることにした．
二人目，惑星環の力学．
先回惑星環の成り立ちを力学的にきちんと追ってみよう，という流れとなり，
今回は小天体が引力で崩壊するロッシュ限界について見てきたようだ．
ただし，今回利用した潮汐力は前回までの制限三体問題としてでなく，
もっと素朴に主星からの距離に伴う引力の変化によって発生する
「見かけの力」のような扱いだった．これ，同じことしてるのかなぁ？
何にしても現実の天体についてあれこれ計算して理論とのずれをよく見てみたい．
一人目，トポロジカルインデックス．
数え上げ多項式に纏わる諸量の観察を櫛グラフまで行ってから，
いよいよ毛虫グラフ．ここまでくるとパラメータが増えすぎて大変，
と思いきや，何と連分数展開ときれいに結びついて
たくさんの事が一言で言えるようになってくる．面白くなってきた．
トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学
二人目，待ち行列．
有限容量の性能評価から始まって複数窓口モデルへ．
本日は人数分布を求めるところまで．
窓口が全部は埋まっていない中間状態ではやや複雑な形になるが，
窓口が全部埋まりだすと単数窓口モデルの定数倍と変わらなくなる．
そりゃそうだといえばそうなんだが．
一人目，先週手違いでできなかったグラフに纏わる数え上げの話．
前回チェビシェフが現れ，のn倍角表示に触れたところだった．
結局が同じ漸化式を満たすことから示されるし，
については
を微分すれば出てくる．
あとはチェビシェフ多項式の具体的表示が表記のものになることを見れば良い．
話は先へ進み，いよいよグラフの数え上げ多項式が登場．
ほう，木グラフの場合の数え上げ多項式には隣接行列の行列式表示があるわけなんだね．
トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学
二人目，待ち行列．今回から有限容量での待ち行列理論．
今まで無限大にして消していたところが消えずに残るところがその違い．
議論はほぼこれまでのまま平行に行えるようだった．
