ゼミの風景

おそらくお気楽はしのすけゼミの諸風景

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数理手品,トポロジカルインデックス,マッチング理論(4年ゼミ)

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一人目,数理手品.
アルゴリズムによってDU列に付随する話は大体わかったところで
これまでに観察した例に適用してみよう,という回.
長さ l D^{l-1}U 列はキレイにベキで場合分けができる例だから
これについてアルゴリズムを適用してみた.
そしたらちょっとだけ2冪のときの話を拡張した形になった.

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二人目,トポロジカルインデックス.
最初に行列の分数べきの証明をした後,パラメータ(m,n) の意味付けを行う.
つまりは(-1,0)を通る傾き\frac{m}{n}の直線と単位円との交点として
完全に表されることを確認.
で,この話を一般次元で行おう,という提案をした.すなわち,
\[
\sum_{k=1}^{n}a_k^2=b^2
\]
なる一般ピタゴラス数についての議論にしよう,ということだ.
当人,数週間先には手術でしばらくゼミができなくなる.
できるだけ進めておくに越したことはない.

トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

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ピタゴラスの三角形とその数理 (数学のかんどころ 6)

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三人目,マッチングの数理.
一対多のマッチングに関する種々の性質を証明しているところ.
今回は恐らく最大の山場,一対多におけるDAアルゴリズムの耐戦略性について.
毎度のことなが,思い出して議論に慣れるのに時間がかかり,
エンジンが掛かり始めた頃に時間となる.
今回の収穫は,状況を絵にすると多少は見やすくなること,
一対一で導いた矛盾はキャパシティー溢れに帰着させれば
同様な証明ができそうなこと,という感覚が得られた点だろう.

マーケットデザイン入門―オークションとマッチングの経済学

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メカニズムデザイン―資源配分制度の設計とインセンティブ

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音声分析,天体力学,待ち行列(4年ゼミ)

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一人目,音声分析.
前回までで音声分析の大まかな流れを掴んだところ,
さて一週空いた今週は,これまでとりあえず認めてきた点を
詰めようとしてきたらしい.
入力における損欠についてはおそらくその解釈どおりだろうし,
最小二乗法で確かに最小値を求めていることの証拠も,
自己相関行列の対称性とそもそもが自乗和から作られた行列だということから,
最小値であることがようやく示された.
あとはPARCOR係数の解釈.こちらもそのうち意味が見えるだろうと思う.
そして卒論的にはこれら理論を具体的に適用して,
現実に\sin波から例えば「あ」が合成できることをしてみたい.
さしあたりEXCELでの実装を試みる意味でテキストを一つ渡した.

新音響・音声工学

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Excelで学ぶ理論と技術 フーリエ変換入門 (Excel技術実践ゼミ)

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二人目,天体力学.惑星環が薄い理由,その最終段階.
再度前回のアイディアを元に,今回はきちんと証明を行った.
定性的な証明だが,これでリングが赤道上に薄く分布してしまうことが示せた.
ところで,ではなぜ惑星は赤道方向に扁平なのだろうか,
そのことを潮汐力を元に説明してもらうことを次の課題とした.

天体と軌道の力学

天体と軌道の力学

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三人目,待ち行列.理論は色々学んだのだけど,これらをどう使おうか,
というところであれこれ議論してきたところだが,
本日は普通のレジとセルフレジの効率比較を行ってきた.
みるとセルフレジ,待ち時間はほぼ0なのに対し,
セルフによるレジ部分でまごつくため
普通レジとかかる時間は変わらないと行った結果を数値計算で提示していた.
そこで,こういったことをどの程度定性的に説明できるだろうか?
を更なる課題として提示した.

例題でわかる待ち行列理論入門

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数理手品,トポロジカルインデックス,マッチング理論(4年ゼミ)

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一人目,数理手品.前回ほぼ全貌が分かったカードディーリングのアルゴリズム.
一点だけ証明すべきことがあったのでその証明を.
あとはこのアルゴリズムを過去の例に当てはめて説明することだ.

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二人目,トポロジカルインデックス.
何だかすべきことが分からなくなってきたようで路頭に迷っている様子.
けれどテキストに書かれてある情報をよく見ると
我々で改めて整理すべきことが多数あるようにみえる.
少なくとも今回はピタゴラス数全体を2パラメータで表現したときの
2種類の上昇演算子として,漸化式を与える行列が理解できることが分かった.
ピタゴラス数を単位円上にみるとき,これら変換がどう作用しているか
ちょっと観察してみたいところだ.

トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

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ピタゴラスの三角形とその数理 (数学のかんどころ 6)

ピタゴラスの三角形とその数理 (数学のかんどころ 6)

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三人目,マッチングの数理.
1対多タイプにマッチングを広げて数週間.徐々に証明を埋めていっているところだ.
今回DAの優越性の証明を1対1の議論を真似て行ってきたようだ.
何しろマッチングの議論,表記がどうしても難解で事態を思い出すのに時間がかかる.
しかし今回何とか証明がまとまった.次は対戦略性とのこと.さてさて.

マーケットデザイン入門―オークションとマッチングの経済学

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メカニズムデザイン―資源配分制度の設計とインセンティブ

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数理手品,トポロジカルインデックス,マッチング理論(4年ゼミ)

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一人目,数理マジック.先週でDU列によって起こる現象の全体像は把握できた.
アルゴリズムができた,ということだが,
この方法で与えられたDU列が全て再現できているか,については
いくらか疑問が残る.で,その証明の検討をした.
ただ,日本語で説明できていることを数式にしたいわけだが,
それをきちんと書こうとすると何だが記号の山になる.
ちゃんと証明書いてくれるかなぁ.

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二人目,トポロジカルインデックス.
「トポロジカルインデックス」とか言いながら,
ピタゴラス数に入ってくると影を潜めた.
さて,そうなってくると卒論に統一性がなくなってくる.
そうそう,前回のゼミで不明だった「演算子」の種明かしをしたのだった.
tokidoki.hatenablog.jp

トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

ピタゴラスの三角形とその数理 (数学のかんどころ 6)

ピタゴラスの三角形とその数理 (数学のかんどころ 6)

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三人目,マッチング理論.この後会議が入っていたので若干短めに.
DAアルゴリズムの耐戦略性の証明の続き.
ところで前回証明した補題が,DAが男性最有利であることの別証になっている,
と学生が言い出した.おや,確かに.
この方法だともしかして1対多バージョンに証明が拡張できるかもしれない.
ということで,考えてきてもらうことに.

マーケットデザイン入門―オークションとマッチングの経済学

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メカニズムデザイン―資源配分制度の設計とインセンティブ

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音声分析,天体力学,待ち行列(4年ゼミ)

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一人目,音声分析.
前回,音圧と媒質速度についての連立漸化式で少々とまどい,今回も冒頭で.
しかしそこはちょいと目をつぶって先に進んだら見通しが良くなった.
音響管モデルにおいて入力部分でも「?」な点もあったが,
話の流れとしては進んでいく.
そうしてZ-変換まできて漸く線形予測理論の具体的例として
音響管モデルが適していることまで進んだ.
さて,今後は実際に(電子的な方法で)音声を合成できるかどうか,かね.

新音響・音声工学

新音響・音声工学

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二人目,天体力学.
扁平惑星の引力源の計算でもう2月近く止まっているかもしれない.
本日も冒頭から出したアイディアがダメであることの確認から始まった.
それでも終わり頃,要するに天体の中心と物体の結ぶ軸上に
引力中心が来ないことを示すだけなら,
きっちり積分せずとも偏りが示せる可能性があると思われる
あるアイディアに行き着いた.行き着いたところで疲れたので,あとは本人に任せた.

天体と軌道の力学

天体と軌道の力学

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三人目,待ち行列.
なんだかんだとここ数週間はまともに進んでいなかった待ち行列.
本日やっとサービスを直列した場合の待ち行列理論へ.
けれど待合場所のキャパシティーが無限であったり,
各サービスが独立であったりと都合のいい条件下での話なので,
実質独立な二つのサービスの話となって,連結故の影響については
今回は考察にいたっていなかった.
さて,今後どう進むかね.

例題でわかる待ち行列理論入門

例題でわかる待ち行列理論入門

数理手品,トポロジカルインデックス,マッチング理論(4年ゼミ)

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一人目,数理手品.
ダウン・アンダー(DU)などのカード操作においてどのカードが残るか問題.
ふと最後の1枚から遡っていく2重数列を作ればすべて解決することに気づく.
つまり,任意のDU列を与えればどのカードが残るのか答えられる方法だ.
おや,これなら「継子立て」にも使えそうだ.

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二人目,トポロジカルインデックス.ピタゴラス数に入って2回目.
今回はそこに現れる謎の漸化式の導出方法について検討した.
どういうわけだか,数列の添字を一つ変えるオペレータが
然るべき行列の固有値のように振る舞い,それによって漸化式が導き出されるという.
まだしっくり来てないんだが,どういうことだろうなぁ...

トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

ピタゴラスの三角形とその数理 (数学のかんどころ 6)

ピタゴラスの三角形とその数理 (数学のかんどころ 6)

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三人目,マッチング理論.
これまでのDAアルゴリズムを1対多に拡張した話を進めているが,
多になる故の困難がいたるところに出始めたので,
一旦1対1に戻って,DAの対戦略性の証明へ.
ただ,このあたりの話はそのとき分かっていても,
時がたって気を抜くとすぐ分からなくなる.
何かもっと図式的に明らかに表現する方法って無いものだろうか?

マーケットデザイン入門―オークションとマッチングの経済学

マーケットデザイン入門―オークションとマッチングの経済学

メカニズムデザイン―資源配分制度の設計とインセンティブ

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待ち行列,天体力学(4年ゼミ)

一人目,待ち行列.
しかしイタリア旅行の為,その土産話のみで修了.
あれれ,どうなってもし~らない.

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二人目,天体力学.
惑星環が薄い理由を求めている.
楕円体を球でスライスして引力を求めようとしたが,
結局その境界がちょいと大変な形なので挫折.
今度は楕円体を地軸方向でスライスして
各スライス上で引力中心を求めようとして,円と楕円の話に還元.
まだこの方が議論できそうなんだが,ここまでで3時間ぐらいかけてしまった.
もう疲れたのでおしまい.

天体と軌道の力学

天体と軌道の力学

マッチング理論,トポロジカルインデックス(4年ゼミ)

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一人目,マッチング理論.
1対多バージョンのDAアルゴリズムについて.
今回はDAの優位性についてなんだけど,ここにきて1対多であることによる困難が現れる.
1対1ならすぐに出る矛盾が,多になると矛盾に行き着かない.
で,ず~っと考えて結論出ず.
恐らく多の方での重複に注目すればいいのだと思うのだけど.

マーケットデザイン入門―オークションとマッチングの経済学

マーケットデザイン入門―オークションとマッチングの経済学

メカニズムデザイン―資源配分制度の設計とインセンティブ

メカニズムデザイン―資源配分制度の設計とインセンティブ

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二人目,トポロジカルインデックス.
ペル方程式辺りで詰まってきたので,ピタゴラス数にまつわる話題へ飛んだ.
今回はとにかく既約ピタゴラス数とトポロジカルインデックスがどうつながるか,
具体的事例を観察した.とはいっても,どうやって毛虫グラフを探すのか,
についての手がかりはなく,漸化式もどこから来たものか分からない.
色々と謎を残しつつ,ピタゴラス数を生成する3行列にまつわる本を新たに貸した.
なんか進展するかな?

トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

ピタゴラスの三角形とその数理 (数学のかんどころ 6)

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数理マジック,音声分析(4年ゼミ)

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一人目,数理マジック.
ダウンアンダー列が最後に残すカードについて.
今回特に議論したのがUUDD,UDDU,DDUU,DUUDの長さ4の操作について.
よ~く観察すると段々と法則が見えてくるのだけど,
残り枚数が操作の長さ未満になったときの挙動がいつも不安になる.
とりあえず法則とそのワケを確認して次回に持ち越し.
いや,長さ4ですらこれだけ混乱するのだけど,
一般にどうなるかきっとうまい表現の仕方があるはずなんだ.

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二人目,音声分析.
管を連結したモデルについて.
何やら媒質粒子の速度と音圧の連立偏微分方程式がでてきて,しばし解釈に戸惑う.
今思えば圧力の勾配が力を生むということだから納得できるのだけど.
こうしてできた管の連結モデルの境界面で出てくる係数が
PARCOR係数とつながってくるのだそうで.詳細はこの先.

新音響・音声工学

新音響・音声工学

トポロジカルインデックス(4年ゼミ)

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一人目,トポロジカルインデックス.
先回からペル方程式に入ったものの,連分数にまつわる諸事実で翻弄される.
結局のところトポロジカルインデックスなるものは,
連分数展開にグラフを付随させたもので,
それゆえに漸化式などにちょっとした解釈が加えらえるようになるものの,
新規の現象が見られるか,というとどうもそうでないらしい.
結局このペル方程式あたりの話も連分数展開の性質にどっぷりお世話になるわけで,
早々に見切りをつけてピタゴラス数への利用に進むことにした.

トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

天体力学(4年ゼミ)

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一人目,天体力学.
前回同様,扁平惑星の引力について.
いろいろな方法でたとえ積分ができないとしても
何らかの定性的な議論で引力方向が惑星中心にならないこと
が示せないか,粘ってみた.ざっと2時間ほど.
しかし道が見いだせず,お開きに.さて,困った困った.

天体と軌道の力学

天体と軌道の力学

待ち行列理論,音声分析(4年ゼミ)

一人目,待ち行列.
しかし当人が旅行に行きまくっているので,進まず.
沖縄のお菓子をもらった.何でも明日からイタリアだそうで.
ま,テロには気をつけて.

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二人目,音声解析.
Levinsonによる線形予測係数計算のアルゴリズムでの
前進予測係数と後進予測係数の関係について.
どうやら時間相関行列の形の特殊性(Toeplitz行列)からその関係が言えるようだ.
その後,Z変換を行って,LSPの話へ.
そろそろ制御理論の話をバックグラウンドに持たないと辛いかね.
しかし,何にしても音声合成の形がちょっと見えてきたか.

新音響・音声工学

新音響・音声工学

数理マジック,マッチング理論(4年ゼミ)

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一人目,数理マジック.
ここしばらくはダウン・アンダーといったカードディールの方法について追っている.
前回まで操作の長さが「ダウン・アンダー」といった長さ2のものを考え,
この場合には2進数表記が有効に働いて
最後にどのカードが残るかなど色々と説明ができた.
今回から「ダウン・アンダー・アンダー(DUU)」などといった,
冪乗枚数で区切ると説明がつくタイプでないものを考えてきてもらった.
どうやらDUU単一では法則が見えない感じなのだが,
UDUやUUDを並べて書くとアルゴリズム的には法則が見えてくる.
しかし,何かまだ場当たり的なので,もう少し様々な場合について調べてもらうことに.
その際,Scratchで実験できると良いだろう,とちょっくら作ってみた.

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二人目,マッチング理論.
1対多バージョンのマッチング理論に入って,
今回はこの場合でのDAアルゴリズムによるマッチングの安定性について.
こちらは1対1と並行した証明が可能だった.
次に,DAが片側最良マッチングであることの証明と,
このアルゴリズムが耐戦略性を持つことについて.
ただ,一時,耐戦略性の定義を巡って路頭に迷いかける.
要は選好組に対してマッチングを対応させる写像がNash均衡点を持つ,
という意味なのだが,選考組については何ら条件がなく,
どんな選考組もNash均衡点になってしまうのでは?
という勘違いだった.
実際には均衡点の比較自体に選考組を使っているから,
大丈夫なんだ,ってことになった.
では次回までにきちんと見てきてもらおう.
あ,その際,以前卒論に追われて
どさくさ紛れに買ったテキストが有効だと気づき,早速貸し出した.

マーケットデザイン入門―オークションとマッチングの経済学

マーケットデザイン入門―オークションとマッチングの経済学

メカニズムデザイン―資源配分制度の設計とインセンティブ

メカニズムデザイン―資源配分制度の設計とインセンティブ

マッチング理論,待ち行列(4年ゼミ)

f:id:okiraku894:20170928120623j:plain
一人目,マッチング理論.
使っているテキストは大体終盤に近づく.
そろそろ卒論ネタ化できる個別の問題を考えたい.
これまでの1対1マッチングから1対多マッチングに拡げると,
適用できる話題が色々とある上,証明したいことも多数出てきた.
例えば前期後期入試のようなものはDAアルゴリズムによるマッチングではなく,
各々の募集段階でメンバーを確定してしまうから,
安定マッチングにならないだろうと思われる.
こうした事象を一つ一つ観察していくだけで,卒論になっていきそうだ.

マーケットデザイン入門―オークションとマッチングの経済学

マーケットデザイン入門―オークションとマッチングの経済学

二人目,待ち行列理論.アイディアを出す時間となったので写真はない.
フォーク並びのほうが効率がいいこと,の話から始まって,
様々なレジシステムの待ち行列モデルの検討や,交差点の待ち行列モデル化とか.
こちらも理論を具体化して適用していく方向へ進めねば.

例題でわかる待ち行列理論入門

例題でわかる待ち行列理論入門

数理マジック,音声解析(4年ゼミ)

f:id:okiraku894:20170926121016j:plain
一人目,数理マジック.
前回からマジックというよりディーリングでどのカードが残るか,
といった問題を始めている.
例えばダウン・アンダーを繰り返すとどのカードが最後残るか,といったことだ.
今のところn進表記による理解が最も簡潔で良いのだけど,
できればこれまでの続きとして力学系の言葉で説明したいのだけど,
良い写像が作れないでいる.
ま,それはそれとして任意のダウンとアンダーの列を一つの操作として固定したとき,
この操作によってどのカードが残るか,を考えるという問題ができなくもない.

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二人目,音声解析.
前回,時間による期待値計算なんだ,ってことが分かったところで,
今日はLevinsonによる線形予測係数計算のアルゴリズムについて.
幾つか誤解がありながらも,本日のところは解決したと思って良い.
さてさて,しかしここで出てくるPARCOR係数をどうやって相関係数と思うのか?
しばらく時間の掛かりそうな問題となった.

新音響・音声工学

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