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和音のトポス(4年ゼミ)

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和音のトポス.
おそらく当人的には行き詰まり感たっぷりなのだろう,
以前のような勢いがここしばらく感じられない.
それはともかく,今回は{0,1,9}=CE♭Gからのupgradeとして
CE♭Gに関わる4音和音がどう見えるのか,を見てきてもらった.
{0,1,9}をminimal invariant にするmonoidの生成元として
3t+4と8t+1を取ると{0,1,4}=CEGのときと同じCayley graphが現れ,
したがってsubobject classifierのlatticeが同じ形になる.
あれ?それはたまたま?...なのではなく,monoidの同型に関する
ある事実を以前に読んでいたのだった.
さてそうするとCEGに付随するmonidと同型になる他のtriadも気になる.
ちょっと調べてみると以下の5つが現れた.
-tでCFG#となりこれはminor triad,
-2tでCEB♭となりこれは(論文中では)stretched triadと読んでいて,
いわゆる7th chordの3rdを抜いたものだ.
そして2tではCDG#.これ並べ替えるとDG#Cで,
これにFを追加すると,そう!Tristan和音だ!

と,ここまでは調子よく音楽的に意味ありげなものが現れたが,
残り二つ5tと7tによるものが少々萎える結果に.
5tではCG#B,これだけだと何とも響きがよろしくない.
7tではCC#E,もうどうしてくれよう.

この先,無理やり解釈しても良いのだが,
なにしろこうしてclosed voicingになってしまう原因がZ12で考えるからでは?
と拡張してみないかと以前から誘っている話題に振る.
振ってはみたものの,単純にZ24にすれば良い,ということでもなさそうだ.
minimal invariantの意味を少し緩める,
つまりZ24からZ12に落とした意味でinvariant
としないとCEGですら非自明なmonidができなくなってしまうんだな.

ところで最近手に入れた↓面白ね.

圏論の歩き方

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