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トポロジカルインデックス(4年ゼミ)

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トポロジカルインデックス番外編.
今月下旬から病院入してしまうそうなので急遽本人希望に因るゼミ.
ピタゴラス行列の多次元版を目指している.
珍しくこちらも会議がまったくなかったこともあって午後中付き合うことに.
議論が右往左往する中,結局次の問題にたどり着いた.



\[
T
\begin{pmatrix}
l\\m\\n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
L\\M\\N
\end{pmatrix}
\]
として
\[
X
\begin{pmatrix}
l^2-m^2-n^2\\
2lm\\
2ln\\
l^2+m^2+n^2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
L^2-M^2-N^2\\
2LM\\
2LN\\
L^2+M^2+N^2
\end{pmatrix}
\]
となる行列T,Xを求めよ.


実際,ピタゴラス数については
\[
\begin{pmatrix}
2 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
l\\m
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
L\\M
\end{pmatrix}
\]
とすれば,例えば
\[
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 2\\
2 & -1 & 2\\
2 & -2 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
l^2-m^2\\
2lm\\
l^2+m^2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
L^2-M^2\\
2LM\\
L^2+M^2
\end{pmatrix}
\]
と実現できている.さて,あるのかな?ないのかな?
トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

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ピタゴラスの三角形とその数理 (数学のかんどころ 6)

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