数理手品，トポロジカルインデックス，マッチング理論（４年ゼミ）

一人目，数理手品．UDアルゴリズムの具体的な場合への適応．
UD列が のような形の場合，冪回の操作が区切りとなって
物事が制御できているのだけど，そのことをきちんと証明したい．
きちんと観察すると進数表現した証明となるのだけどきちんと書けるかな？

二人目，トポロジカルインデックス．高次元ピタゴラス数間の変換行列探し．
しばらく全く手がかりもなく時間だけが過ぎたのだが，
やがて学生自身が上手い不変式を見つけた．
EXCELで沢山の系列を作って観察していたおかげもあるのだろうが，
どうやら を固定した列を考えると
法則が見えるらしい．
で，本日見つけたのが のシリーズで，
\[
\frac{1}{3}
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 2\\
2 & 1 & -1\\
3& -3 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
l\\ m\\ n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
L\\ M\\ N
\end{pmatrix}
\]とおけば，
\[
d-b=(l^2+m^2+n^2)-2lm=(L^2+M^2+N^2)-2LM=5
\]と変換によって不変となった．おやおや，不思議だ．
同様に 型で同様な変換が見つかるだろうか．

---

と，不思議だと思われたのは一日限りで，よくよく考えれば当たり前だった．
上記行列は結局
\[
L-M=n,\qquad N=l-m
\]と変換しているので，
\[
(l-m)^2+n^2=(L-M)^2+N^2
\]が常に成り立つわけだ．

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三人目，マッチング理論．一対多バージョン対戦略性で苦戦中．
本日も前回の証明を遡るも，途中で路頭に迷う．
一度頭をまっさらにして素朴に直感的に「おかしい」と感じられるところまで
手を動かして考えてみるほかはなかろう．
それにしても，何とも議論しづらい分野だ．

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