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数理手品,トポロジカルインデックス,マッチング理論(4年ゼミ)

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一人目,数理手品.UDアルゴリズムの具体的な場合への適応.
UD列が D^{\ell-1}U のような形の場合,\ell冪回の操作が区切りとなって
物事が制御できているのだけど,そのことをきちんと証明したい.
きちんと観察すると\ell進数表現した証明となるのだけどきちんと書けるかな?

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二人目,トポロジカルインデックス.高次元ピタゴラス数間の変換行列探し.
しばらく全く手がかりもなく時間だけが過ぎたのだが,
やがて学生自身が上手い不変式を見つけた.
EXCELで沢山の系列を作って観察していたおかげもあるのだろうが,
どうやら d-b=(l^2+m^2+n^2)-2lm を固定した列を考えると
法則が見えるらしい.
で,本日見つけたのが d-b=5 のシリーズで,
\[
\frac{1}{3}
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 2\\
2 & 1 & -1\\
3& -3 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
l\\ m\\ n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
L\\ M\\ N
\end{pmatrix}
\]とおけば,
\[
d-b=(l^2+m^2+n^2)-2lm=(L^2+M^2+N^2)-2LM=5
\]と変換によって不変となった.おやおや,不思議だ.
同様に d-b=4k+1 型で同様な変換が見つかるだろうか.



と,不思議だと思われたのは一日限りで,よくよく考えれば当たり前だった.
上記行列は結局
\[
L-M=n,\qquad N=l-m
\]と変換しているので,
\[
(l-m)^2+n^2=(L-M)^2+N^2
\]が常に成り立つわけだ.
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三人目,マッチング理論.一対多バージョン対戦略性で苦戦中.
本日も前回の証明を遡るも,途中で路頭に迷う.
一度頭をまっさらにして素朴に直感的に「おかしい」と感じられるところまで
手を動かして考えてみるほかはなかろう.
それにしても,何とも議論しづらい分野だ.

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