一人目，トポロジカルインデックス．
先回からペル方程式に入ったものの，連分数にまつわる諸事実で翻弄される．
結局のところトポロジカルインデックスなるものは，
連分数展開にグラフを付随させたもので，
それゆえに漸化式などにちょっとした解釈が加えらえるようになるものの，
新規の現象が見られるか，というとどうもそうでないらしい．
結局このペル方程式あたりの話も連分数展開の性質にどっぷりお世話になるわけで，
早々に見切りをつけてピタゴラス数への利用に進むことにした．
トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学
一人目，天体力学．
前回同様，扁平惑星の引力について．
いろいろな方法でたとえ積分ができないとしても
何らかの定性的な議論で引力方向が惑星中心にならないこと
が示せないか，粘ってみた．ざっと２時間ほど．
しかし道が見いだせず，お開きに．さて，困った困った．
一人目，待ち行列．
しかし当人が旅行に行きまくっているので，進まず．
沖縄のお菓子をもらった．何でも明日からイタリアだそうで．
ま，テロには気をつけて．
二人目，音声解析．
Levinsonによる線形予測係数計算のアルゴリズムでの
前進予測係数と後進予測係数の関係について．
どうやら時間相関行列の形の特殊性（Toeplitz行列）からその関係が言えるようだ．
その後，Z変換を行って，LSPの話へ．
そろそろ制御理論の話をバックグラウンドに持たないと辛いかね．
しかし，何にしても音声合成の形がちょっと見えてきたか．
一人目，数理マジック．
ここしばらくはダウン・アンダーといったカードディールの方法について追っている．
前回まで操作の長さが「ダウン・アンダー」といった長さ２のものを考え，
この場合には2進数表記が有効に働いて
最後にどのカードが残るかなど色々と説明ができた．
今回から「ダウン・アンダー・アンダー(DUU)」などといった，
冪乗枚数で区切ると説明がつくタイプでないものを考えてきてもらった．
どうやらDUU単一では法則が見えない感じなのだが，
UDUやUUDを並べて書くとアルゴリズム的には法則が見えてくる．
しかし，何かまだ場当たり的なので，もう少し様々な場合について調べてもらうことに．
その際，Scratchで実験できると良いだろう，とちょっくら作ってみた．
二人目，マッチング理論．
1対多バージョンのマッチング理論に入って，
今回はこの場合でのDAアルゴリズムによるマッチングの安定性について．
こちらは1対1と並行した証明が可能だった．
次に，DAが片側最良マッチングであることの証明と，
このアルゴリズムが耐戦略性を持つことについて．
ただ，一時，耐戦略性の定義を巡って路頭に迷いかける．
要は選好組に対してマッチングを対応させる写像がNash均衡点を持つ，
という意味なのだが，選考組については何ら条件がなく，
どんな選考組もNash均衡点になってしまうのでは？
という勘違いだった．
実際には均衡点の比較自体に選考組を使っているから，
大丈夫なんだ，ってことになった．
では次回までにきちんと見てきてもらおう．
あ，その際，以前卒論に追われて
どさくさ紛れに買ったテキストが有効だと気づき，早速貸し出した．
一人目，マッチング理論．
使っているテキストは大体終盤に近づく．
そろそろ卒論ネタ化できる個別の問題を考えたい．
これまでの１対１マッチングから１対多マッチングに拡げると，
適用できる話題が色々とある上，証明したいことも多数出てきた．
例えば前期後期入試のようなものはDAアルゴリズムによるマッチングではなく，
各々の募集段階でメンバーを確定してしまうから，
安定マッチングにならないだろうと思われる．
こうした事象を一つ一つ観察していくだけで，卒論になっていきそうだ．
二人目，待ち行列理論．アイディアを出す時間となったので写真はない．
フォーク並びのほうが効率がいいこと，の話から始まって，
様々なレジシステムの待ち行列モデルの検討や，交差点の待ち行列モデル化とか．
こちらも理論を具体化して適用していく方向へ進めねば．
一人目，数理マジック．
前回からマジックというよりディーリングでどのカードが残るか，
といった問題を始めている．
例えばダウン・アンダーを繰り返すとどのカードが最後残るか，といったことだ．
今のところn進表記による理解が最も簡潔で良いのだけど，
できればこれまでの続きとして力学系の言葉で説明したいのだけど，
良い写像が作れないでいる．
ま，それはそれとして任意のダウンとアンダーの列を一つの操作として固定したとき，
この操作によってどのカードが残るか，を考えるという問題ができなくもない．
二人目，音声解析．
前回，時間による期待値計算なんだ，ってことが分かったところで，
今日はLevinsonによる線形予測係数計算のアルゴリズムについて．
幾つか誤解がありながらも，本日のところは解決したと思って良い．
さてさて，しかしここで出てくるPARCOR係数をどうやって相関係数と思うのか？
しばらく時間の掛かりそうな問題となった．
一人目，天体力学．
惑星環が薄い理由を追求している．前回どこかのサイトで
それが惑星が扁平なことによるとの記述を当人が見つけ，
ではそれの仕組みをきちんと数式で追ってみようということになった．
なったのだけど，その計算はまともにやるとちょいと大変．
で，方針を変えて（というか初めからそう考えれば良かったのだけど）
重心をちゃんと計算して，質点での議論に還元することとなった．
ところでこの議論をしていて気付いたのだけど，
通常地上で物体の重心を考えるとき，一点で支えて釣り合う場所，
なんて呑気な理解をしているのだけど，
天体ともなるときちんと万有引力で考えねばならない．
といったところでその先の計算をしてきてもらうことに．
定性的にでもわかれば良いんだ，とりあえず．
一人目，トポロジカルインデックス．
先週からセクションが変わり，ペル方程式へ．
まずは非平方数の平方根の連分数展開の性質について．
いつも具体的な数値で目の子で計算する連分数を敢えて文字のまま展開してみた．
次に連文多項式とのつながりで毛虫グラフによる計算とその意義を考えた．
最後，ペル方程式の整数解の存在云々について，あれこれ議論．
再度バランスをとる数の話をしてみた．
tokidoki.hatenablog.jp
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トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学
一人目，音声解析．
もうすっかりやりかけていたことを忘れてしまっていたが，
そうだ線形予測の話になったところだった．
特にPARCOR係数が出てきたところで詰まったのだった．
本日改めてそこまでの概略を見たところ，幾つかの疑問は解決．
じゃぁ，その仕組みをきちんと数学的に追ってみよう，ということに．
実際に音声合成までいけるとよいね．
二人目，待ち行列．
こちらはテキストに従って淡々と進んできたが，
そろそろ具体的な問題にしていきたい．
今回問題として提案したのは
複数窓口モデルで待ち人をグループ分けしたほうが良いのか，ということだ．
具体的に数値を当てはめて，まずは感触を掴んできてもらうことに．
二人目，天体力学．
「土星のリングはなぜ薄いのか」がテーマでやってきた．
まともに探すとなかなか文献が見つからないので，
上手い問題設定をし直す必要がある．
で，あれこれ検索してもらっているうちに，
土星など赤道方向に扁平な惑星特有の現象だという記事を見つける．
ではそのことを実際に数式で示してみよう，ということになった．
扁平惑星内の各点からの微小重力を合計すればよいわけで，
まずは何とか話になりそうだ．あとは当人に任せた．
一人目，トポロジカルインデックス．
こちらも数カ月ぶりの再開となるが，
今回は単環グラフのトポロジカルインデックスの計算と，
それにまつわる関係式の導出．ちょうどリハビリには良い．
このまま行くとグラフ多項式関連へと深入りしていって，
当初の目的であるピタゴラス数へたどり着かないので，
次回から連分数とペル方程式のセクションへ．
ちょうど「バランスをとる数」で関わった話だし．
tokidoki.hatenablog.jp
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トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学
およそ３ヶ月ぶりにゼミ再開．
一人目，数理マジック．
Gergonne系マジックについては方がついていたので，
今回からはその派生物を考えようと企てている．
とりあえず宿題にしたのが，ダウンアンダーでどのカードが残るのか，
を調べてきてもらった．
で，実際観察すると２冪枚数のときが区切りとなって容易に分析できることが分かった．
アンダーダウンにもすぐに適応できる．
で，この先はこれをやはり力学系として捉えたいわけだが，
枚数が減っていくこの話，どうやって力学系にしようかね．
同時に扱える問題として「継子立て」がある．
まだまだ色々と遊べそうだ．
二人目，マッシングの数理．
１対１DAアルゴリズム関連については教採前までで大体片がついていた．
ちょっとやり残した，男性有利＝女性不利の証明を改めて考えた後，
入試制度などの１対多のマッチングへと話を進める．
比較的そのままこれまでの話が使えそうな感触だが，
そのあたり当人に見直してきてもらうこととした．
満足度，なる指標が入れられるともう一段話が深められそうだ．
一人目，マッチングの数理．
先回，男性有利アルゴリズムが実際に有利であること等の証明が完了したが，
それは同時に女性不利なのか？については示していなかった．今回はその証明．
行われた証明を見ると実は一般のマッチングの優劣が
男性と女性で丁度裏返しになることも示されることが分かった．これで実習前は一区切り．
二人目，数理マジック．
Gergonne系トリックの離散力学化の続き．
連続近似と元の離散力学がずっと近いままであることを
今回当人が示してきた．一部不等号の成立が怪しいところがあってそこを訂正して完成．
ところでこれは不動点が整数となる時の話で，
そうでないときは連続の場合の不動点の周りで振動することになる．
それがいつなのか？という話になり，図で観察すると答えが見えるので，
今度はそれを証明してきてもらうことに．
また， に絡んだ別のトランプマジックを見せて
その理由も考えてきてもらうことに．
さて，これで教採終了まで6人中5人のゼミは一度休止となる．
復帰後スムーズに事が進むと良いのだけどな．
というか，皆まずは受かってもらわないとね．
一人目，音声工学．
先回引っ掛かった「偏自己相関係数」の書き換えについて再び．
偏自己相関係数の計算を漸化式によって求める方法を見ているところなのだそうだが，
期待値計算ですることを見失ってしまう．
一度落ち着いてきちんとした定義に遡って始めたほうが良さそうだ．
というところで来週から実習で忘れるね．
二人目，天体力学．
惑星環については進展がなく，逃げ場として三体問題の続きを話してもらう．
回転座標系から見るとコリオリ力と遠心力が現れ，
しかし遠心力項を移行するとポテンシャルに書き換わり，
結果保存力として見られるところまで．こちらも続きは教採後となるのだね．
一人目，トポロジカルインデックス．
前回は炭化水素の異性体全体に渡るトポロジカルインデックスを計算しかけたのだけど，
膨大すぎて話途中で終わり，今日は一転して残ったテキストの演習問題を解いた．
連分多項式に纏わるもので何れも帰納的な議論で片付く．
トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学
二人目，待ち行列．有限容量複数待ち行列についてその性能評価まで．
何れの議論もこれまでとほぼ平行に可能で目新しい点は無い．
それでも具体的な数値で見てみると意外と直感に合わなかったりして
実際にシミュレーションをし始めると面白いこともあるのかもしれない．
