ゼミの風景

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数独の数理(4年ゼミ)

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数独の数理.
グラフの彩色数の計算アルゴリズムを数独に利用する方向でやってきている.
が,ここにきてやはり数独版に作用する変換群との絡みがないと見通しが悪いようにも思えてきた.
例えば,4独での軌道は2本なのだが,この互いに移り合わない2つの盤は彩色アルゴリズムでのどの時点で現れるのか,といった問題だ.
あるいはこの観察は,どこまでマス目が消されていたら一意的に盤が決定できなくなるか,といった問題にもつながる.

「数独」を数学する -世界中を魅了するパズルの奥深い世界-

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免疫モデル,保険数理(4年ゼミ)

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一人目,免疫モデル.
3つ目の平衡点の安定性を示すためのリアプノフ関数の計算が進まず.
一度,テキストの係数を全部疑って係数を決め直してみては,と提案.
そして,この計算と並行して,その先のモデルの議論へ進むようにしてもらう.

「数」の数理生物学 (シリーズ 数理生物学要論 巻1)

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二人目,保険数理.
何やら,ほとんどやって来てない様子.その場でテキストを読み始めた.
さて困った.

生命保険数理への確率論的アプローチ

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損保数理・リスク数理の基礎と発展―クレームの分析手法

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模様の数理,数理音楽2(4年ゼミ)

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一人目,反応拡散方程式.別の文献での先週の話の焼き直し.
けれど,前回誤解していた部分も明らかになり,もう少し詳しく観察もできた.
最後に一つ,具体的な反応項を登場させたので,安定平衡点が存在しつつ空間周波数方向の不安定性のあるパラメータの範囲を決定したりしてこないかなぁ...と

波紋と螺旋とフィボナッチ

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生物にみられるパターンとその起源 (非線形・非平衡現象の数理)

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二人目,数理音楽2.
4和音でのスケールとの関係グラフを描いてきた.
やはりトライトーンを含むV7とvii7(-5)は特殊な位置にある.
そしてこのトライトーンは組合せ論的に一般に見てもいつも存在し,2つの(一般化された)スケールにしか存在しないことを昨年証明した.
何か調性感を特徴づける現象なのではないかと思っているが,まだとっかかりに乏しい.
ちなみにF,BをもつスケールはCmajとF#maj.そしてこれらのスケールは共にドミナントV7を通じて裏表の関係にある.
裏コードってやつだ.

Mathematics and Music (Mathematical World)

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コード理論大全

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数独の数理,オークション,数理音楽(4年ゼミ)

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一人目,数独の数理.
彩色数計算のアルゴリズムを数独の解法に使ってみる話の続き.
同一視と辺の追加,この繰り返しで数独を簡約していく.
数独ルールだけから定まる真っ更なグラフからはじめて,どのように(数字の入れ替えを同一視した)12パターンが分岐していくのかが,4独ぐらいのサイズであればやれそうだ.
この分岐図の様子から何らかの知見は得られるものだろうか...

「数独」を数学する -世界中を魅了するパズルの奥深い世界-

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二人目,課金ゲームの数理モデル.
まだまだ問題設定に程遠い状態ではある.
結局の所,どういった目的関数を最大化する問題として捉えるのかが定まらないからだ.
本日はとりあえず一案を出してみた.
単位コストあたりの期待利得を最大にせよ,という問題だ.
形になるかねぇ...

マーケットデザイン入門―オークションとマッチングの経済学

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ゲームと情報の経済学 (現代経済学のコア)

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三人目,数理音楽.
何やらギターを持ってきていたので,それもジャラジャラ鳴らしながらのゼミ.
セカンダリードミナントの話題から始まったのだが,いくつかの楽曲の実際のコード進行を書いてみる.
そもそもdiatonic chord内(およびその近似)で考えると,進行のパターンは2度=-7度,3度=-6度4度=-5度と類別してしまうと高々3つ.
けれど5度進行が多いのは,どういった音楽心理的仮定を置くと説明できるものなのか.
あるいは,気のせいなのか?文化によるものなのか?結局いつもここへ戻ってきてしまう.

コード理論大全

コード理論大全

保険数理(4年ゼミ)

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保険数理.
あれれ,そんなエントリーこれまでなかったぞ,となるだろうけど,リズム現象の数理をやるつもりだった学生の気が変わったからだ.
今回はこれからの話しを展開する上での諸定義やら記号やら.
さてさて,どういった具体的な問題を展開していこうかね.

生命保険数理への確率論的アプローチ

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損保数理・リスク数理の基礎と発展―クレームの分析手法

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数理音楽(4年ゼミ)

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数理音楽.研究室でゼミだったので,板書はナシ.
実際に音を鳴らしながら,あれこれ議論.
コードとそれに合うメロディーという話になったのだけど,どこからどうアプローチすれば数理的な話にできるのか手がかりが無い.
音楽的に言われていることが,習慣的な問題なのか,認知心理的問題なのか,あるいは数理的な切り口があるのか.
なぜ長7はOKで,短9はOUTか?けれど,うまく音を加えていけばどちらのOKになり得る.
けれどOKと思うのも人それぞれなのか(和音のクオリア).
ただ,短9のほうがより音を付加しないとOKになり辛い感はある.
あれあれ,この辺りにとっかかりはあるかな?

コード理論大全

コード理論大全

模様の数理モデル,数理音楽2(4年ゼミ)

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一人目,反応拡散方程式.
前回,もとの偏微分方程式の形から常微分に還元されて話しやすくなったところで,拡散不安定性条件を観察することとなった.
反応項のみからなる系の平衡点の安定性と,拡散項を含めたときに空間方向の周期パターンが不安定であること,の2つが必要らしいとのこと.
けれど,何だか直観に載らないので,いずれかの条件が外れた系では何が起こるのか,具体的に反応項を作って観察してみよう,ということになった.
そろそろ走り出せそうな空気になってきた.

波紋と螺旋とフィボナッチ

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生物にみられるパターンとその起源 (非線形・非平衡現象の数理)

生物にみられるパターンとその起源 (非線形・非平衡現象の数理)

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二人目,数理音楽2.
三度堆積和音のグラフを描いてきた.
で,このグラフ,J-関数表示で考えると見やすいのでそれを紹介した.
任意の3音からなる和音のスケール変化に伴う寿命なんかは,このグラフですぐに理解できる.
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後半は和音進行の誘引について.
しかし,この問題はどこに理屈の原点を置くべきかでいつも悩んでしまう.

Mathematics and Music (Mathematical World)

Mathematics and Music (Mathematical World)

数独の数理,オークション(4年ゼミ)

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一人目,数独の数理.
4独の分類を以前,軌道の計算によって行ったが,ここでは新たに彩色数の計算を通して数えることを行った.
辺の追加と頂点の同一視を繰り返すことで完全グラフの彩色数に還元していくということだが,ここで行った計算は実際に数独を解くプロセスに他ならないことが分かってきて,ではこれらの観察から例えば解が一意的に決まるような問題に必要な既に数字で埋められているマス目の数はいくつだろうか,といったヒューリスティックな見当がつけられるんじゃないか,ということになった.
なかなか興味深い観察になりつつある.

「数独」を数学する -世界中を魅了するパズルの奥深い世界-

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二人目,オークションの数理.
ここまでオークションとして扱ってきたのだけど,よくよく振り返ると当人がやりたい話はオークションではなく,アイテムを集めていくタイプのゲームの数理モデルだ.
もちろんオークションのモデル化で培った考え方・手法はそのまま使っていけるのだけど,そろそろ本題に舵を切っておかねばなるまい.
ということで,改めて考えているゲームのモデル化をしてきてもらうことになった.

マーケットデザイン入門―オークションとマッチングの経済学

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ゲームと情報の経済学 (現代経済学のコア)

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数理音楽(3年ゼミ)

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一人目,数理音楽.
コード理論大全にある,テンションノートについて.
Available tension のルールを紹介.
Diatonic 内の natural tension については scale tone であって,コード構成音のいずれかと短9でないこと.
ホントかってことで構成音を chromatic で番号を振って観察すると確かにそうなっている.
というか Diatonic による度数カウントってホントややこしい.
結局の所,natural tension については24音(2オクターブ)へ7音を maximal even に埋め込んだもの,と考えて良いんじゃないかな.
\begin{equation}
\mathcal{J}_{24,7}^{m}=\left\{J_{24,7}^m(k)=\left\lfloor\dfrac{24k+m}{7}\right\rfloor,k=0,\dots,6\right\}
\end{equation}
とおいたら,

\begin{align}
\text{Imaj7} &\quad \mathcal{J}_{24,7}^{5}=\{0,4,7,11,14,17,21\},\quad\text{tension:}14=9th,21=13th\\
\text{II-7} &\quad \mathcal{J}_{24,7}^{3}=\{0,3,7,10,14,17,21\},\quad\text{tension:}14=9th,17=11th,21=13th\\
\text{III-7} &\quad \mathcal{J}_{24,7}^{1}=\{0,3,7,10,13,17,20\},\quad\text{tension:}17=11th\\
\text{IVmaj7} &\quad \mathcal{J}_{24,7}^{6}=\{0,4,7,11,14,18,21\},\quad\text{tension:}14=9th,18=\sharp 11th,21=13th\\
\text{V7} &\quad \mathcal{J}_{24,7}^{4}=\{0,4,7,10,14,17,21\},\quad\text{tension:}14=9th,21=13th\\
\text{VI-7} &\quad \mathcal{J}_{24,7}^{2}=\{0,3,7,10,14,17,20\},\quad\text{tension:}14=9th,17=11th\\
\text{VII-7(b5)} &\quad \mathcal{J}_{24,7}^{0}=\{0,3,6,10,13,17,20\},\quad\text{tension:}17=11th,20=\flat 13th
\end{align}

となるのだけど,あれれ板書とちょっと違うや.

コード理論大全

コード理論大全

二人目,も数理音楽.
だけど会議の時間になってしまって,話は途中で.
不協和度曲線あたりで,どうしてもやりたいらしいが,今の所の提案では,音楽から遠い.

Mathematics and Music (Mathematical World)

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模様の数理モデル,免疫モデル(3年ゼミ)

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一人目,反応拡散方程式.
ちっとも進んでくれないので,その場でテキストを読んでもらう.
拡散項がない場合は場所を考えなければ非線形な常微分方程式.
これが安定な平衡点を持っていても,拡散項の存在で周期的な変動が発生するといったことが書かれている.
そこまでのストーリーを順を追って読み進める.
拡散項がある状態では解を空間についてフーリエ展開した形で書いておく.
それらの係数の時間発展は常微分方程式に戻るので,知っている議論に載せられる.
さて,その先の解析をやってきてもらおう.

そうだ,javascriptで見事なシミュレーションを見せてくれるのを見つけたよ↓
pmneila.github.io

波紋と螺旋とフィボナッチ

波紋と螺旋とフィボナッチ

生物にみられるパターンとその起源 (非線形・非平衡現象の数理)

生物にみられるパターンとその起源 (非線形・非平衡現象の数理)

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二人目,免疫モデル.
平衡点が3つある場合の解析で前回Lyapnov関数が登場したが,その時間微分が確かに負になることは確認していない.
ということでそれを試行錯誤しているところとのこと.
どうもそのままでは目的の式変形にならず,あれこれ彷徨った末,平衡点周りに方程式を書き換えて観察すれば行けそうだ,というところにたどり着く.
さて,その先はやってきてもらおう.

「数」の数理生物学 (シリーズ 数理生物学要論 巻1)

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オークション,数独の数理(3年ゼミ)

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一人目,オークションの数理.財が複数ある場合へ.
N人入札,L位まで落札の第L+1価格オークションについては第2価格とほぼ同じ議論.
問題はL位まで落札だが,支払額は各自の入札額だった場合.
一応,評価額と入札額に関する関係式は出せるのだが,ぱっと分かる形ではない.
ちょいとあれこれ触ってきてもらうことに.

マーケットデザイン入門―オークションとマッチングの経済学

マーケットデザイン入門―オークションとマッチングの経済学

ゲームと情報の経済学 (現代経済学のコア)

ゲームと情報の経済学 (現代経済学のコア)

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二人目,数独の数理.グラフ論的な扱いを目指してあれこれ.
数独型のグラフは正則なのだけど,よくよく観察するとグローバルに等質なグラフではない.
ブロックの特殊性が現れるからだ.
で,知らなかったのだけど,色付き数独ってのもあるらしく,これになるともう一つ拘束条件がつくので,数独に作用する変換群が小さくなる.
さて,そうなると軌道の個数は...
こうしてみると,やることは色々ありそう.できるかどうかは別として.

「数独」を数学する -世界中を魅了するパズルの奥深い世界-

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数理音楽(3年ゼミ)

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一人目,数理音楽.
その和音がどの調に住んでいるのか,はコード進行やリハーモナイズといった観点からも必要なことで,そこで和音の地図を作ることを試みている.
手始めに三度堆積三和音.このあたりはずっと昔から折りに触れ数学者たちも触ってきた話題だ.
しかしこの際,sus2やsus4あるいはdimやAugなど,あり得る三和音や四和音の地図を作ってしまっておきたい.
と,同時に,この場合現れるグラフは正則なので,グラフ理論的に良い性質が数理音楽へフィードバックされることも期待したい.

コード理論大全

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二人目も数理音楽.
しかし今ひとつ当人の問題がはっきりせず,今一度問題設定を見直してくることにした.

Mathematics and Music (Mathematical World)

Mathematics and Music (Mathematical World)

オークション,数独の数理(3年ゼミ)

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一人目,オークションの数理.
第一価格オークションの評価値に対する入札額の関数の導出で,もう一度詳細に眺めたら,評価値の分布と入札額の分布の差が関数を導くのだという結論に至った.
さて,閑話休題(へ?「ともかく」を変換したらこんなになった)として,この話はどこに進むんだい?
今一度,方向設定を緻密にしようぜ.

マーケットデザイン入門―オークションとマッチングの経済学

マーケットデザイン入門―オークションとマッチングの経済学

ゲームと情報の経済学 (現代経済学のコア)

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二人目,数独の数理.
まぁ,こちらも何を問題にするのかが問題だ.
パターンの個数のカウント?数独の一般化?あるいはもっと抽象的なグラフ上での数独の話?
やりようは色々考えられるけど,とりあえず何かにつっこもうや.

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模様の数理モデル,免疫モデル(3年ゼミ)

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一人目,模様の数理モデル.
チューリングの拡散反応モデルを具体的に触ってみるところ.
というか,この話題,最後にやったのが2018/12/17ってことで,何もう3ヶ月近く放ってあったんかいな.
一つ具体的なモデルが紹介されているから,まずはこのモデルをきちんと数学的に追ってみようということに.
で,拡散項だけだったらどうなるかってところから.熱拡散なんだけどね,これをちゃんとまず理解しようと.
一方で,反応項だけだとどんな力学系か,こちらをみてきてもらうことに.

波紋と螺旋とフィボナッチ

波紋と螺旋とフィボナッチ

生物にみられるパターンとその起源 (非線形・非平衡現象の数理)

生物にみられるパターンとその起源 (非線形・非平衡現象の数理)

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二人目,免疫モデル.
ずっと固有値周りの挙動を調べていたが,で,結局どうなるのかを本日は振り返ってみる.
パラメータの範囲によって安定になる平衡点の場所が変わるのだが,病気が治る場合は理解できるとして,残りの場合は平衡点の場所を見ると,病気が定着することを意味している.
では,免疫の役割はどうなのか?と改めて観察してみると,病気が定着するものの,その病原体の量が確かに免疫効果によって下げられることが見えた.
一方,直接固有値を調べる方法はそろそろ限界なので,Lyapnov関数を上手く探すという方法についても観察した.
これで多少道が見えたかな?

「数」の数理生物学 (シリーズ 数理生物学要論 巻1)

「数」の数理生物学 (シリーズ 数理生物学要論 巻1)

数理音楽,オークション(3年ゼミ)

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一人目,数理音楽.数カ月ぶり,もうやっと発表してくれたわけだ.
ダイアトニックにおける各音の文脈的な意味と役割について.
とりあえずまずは音楽の仕組みについて知ってもらわないと始まらないので.
三度堆積和音,その基本的な事実とそれからやがては組み合わせ的な性質へ,まずは行けるかな.

コード理論大全

コード理論大全

f:id:okiraku894:20190212155846j:plain
二人目,オークション.
今日はNash均衡についての具体的な話.しかし混合戦略までは進んでいない.

マーケットデザイン入門―オークションとマッチングの経済学

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ゲームと情報の経済学 (現代経済学のコア)

ゲームと情報の経済学 (現代経済学のコア)