ゼミの風景

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数理ファイナンス,ギャンブルの統計,数理生物学(3年ゼミ)


一人目,数理ファイナンス.
前回残していた同値性の証明の続き.
実際には無裁定は起こり得ないと.



二人目,ギャンブルの数理.突然マルコフ連鎖の話.
ギャンブラーが破綻する確率をマルコフ連鎖で計算.
さて,これからどこへ行こうか.



三人目,数理生物学.
今回は交尾前ガードのモデルの紹介.
さて,こちらもどう進んでいこうか.

もうこれ以降は,3年ゼミも個別へと代わっていく.

整数の分割,自転車の力学,数理ファイナンス(3年ゼミ)



一人目,整数の分割.オイラーの五角数定理と分割数.
今回は混乱なく納得できる話となった



二人目,自転車の力学.
剛体の力学系を扱うため,今回は他粒子径の運動方程式など.




三人目,数理ファイナンス.
裁定機会の概念と,それらを取り巻く概念の関係について.
ん~,なんか込み入ってきた.

包絡分析,数理生物学(3年ゼミ)



一人目,包絡分析を野球データに.
今回は,シンプレックス法の具体的操作について.
そして,その方法で確かに最適値に向かえる,ということまでは示していないが.





二人目,数理生物学.
今回は,植物の繁殖戦略について.
こういった話は,どう納得の行く数理モデルを作るか,にかかっている.

ブラックジャック,パターン形成の数理(3年ゼミ)


一人目,ブラックジャック.
ディーラーは17以上になるまでカードを引くことになっているルール.
なぜ17なのか,数理的に説明できるか,という問題が考えられるよ,と指摘.
まぁ,どうやるか分からないけど.



二人目,反応拡散方程式.
チューリングパターン形成の条件を一般論で説明.

結晶群(4年ゼミ)


もうそろそろ着地させねば,の4次元正多胞体.
3次元はBurnside lemmaできれいに片付いた話だったが,よく見ると幾何学的直感を利用している部分もあり,純代数的に扱っておかないと高次元になったときに苦労する.というか,してきた.
ということで,とりあえず3次元SO(3)の有限部分群の決定までをLaTeXにしてきてもらうことに.

野球の統計学,制御工学(4年ゼミ)


一人目,DEAによる野球分析.
数学部分は終わったことにして,具体的データで見てきてもらう.
今日見たデータでは,巨人と広島の順位がなぜこうだったのか不思議な状態.
この順位がどういった塩梅で起こるのかを導くような入力と出力の組を考えられないか,と提案.


二人目,倒立振子の制御工学.今日は最適レギュレータの話.
評価関数(普通はLagrangeanを取るようだ)に対して最適解を求める部分は数学.
でも,評価関数として何を取るべきかは,制御者に委ねられる,といったところのようだ.

完全数(4年ゼミ)


ノルム和完全数を求めて.特段の進展はなく.
ただ,整数世界の完全数探しと似た構造をノルム和が持っているので,
では整数世界の偶数完全数の真似をしてノルム和完全数の形を探ってみてはどうだろう,ということに.
今日の感触では,無さそうな雰囲気だったが...

キューブ群,結晶群(4年ゼミ)


一人目,キューブ群.
もうそろそろ着地を,ということで,やってきたことを俯瞰.
要するにキューブを解く手順を群論的観点で分析した,というところだ.
よくよく考えたら,2面体の群のほうが大きいから,先に2面体を確定させたほうがやりやすいだろう.
で,これまでの研究で3面体だけを動かす方法は調べてあったので,まとめられそうだ.


二人目,四次元正多胞体の数え上げ.
さて,こちら,ちょっと始めるとすぐに見えない壁(正確には4次元が見えないことによる壁)が立ちはだかる.
さてさて,いつ超えられるだろうか.それでももう着地せねば.

ピタゴラス数(4年ゼミ)


ピタゴラス数.
さらなる一般化を求めて, A^2+B^2-\alpha AB=C^2 での考察.
もはや整数を諦め,有理数にまで広げたとき,それでもピタゴラス数を結ぶ1次変換があるのだろうか,といった興味.
まぁ,しかし一旦LaTeXを落ち着かせて,完成させよう.

整数の分割,数理生物学(3年ゼミ)


一人目,整数の分割.
先週もやもやしたままだった案件.終わり際にようやく理解できた.
 p(n|和因子1無し)は最小和因子を2+1+1+\cdots+1に分割して,和因子2を持つものに変換できる.
したがってp(n|和因子1無し)\subset p(n|和因子2有り)となるが,和因子2有りのうちで p(n|和因子1無し)からの変換で写ってこないものがp(n-2|2以上の最小和因子<2+和因子1の個数)となる.
それは,変換する際,最小和因子でないものを2+1+1+\cdots+1と分解して生じる分割であり,この分割は決して p(n|和因子1無し)からの変換では得られないものなのである.
たとえば7=4+3の3を2+1と変換して7=4+(2+1)と和因子2有りにする代わりに最小和因子でない4を2+1+1と変換すると,
7=3+2+1+1+1であり,2を取り除けば分割5=3+1+1+1を与え,その最小和因子3<2+(1+1+1)となる.




二人目,繁殖行動の数理生物モデル.
だんだんと式が激しくなってきた.最後の不等式,ちょっとどうやって式変形したのか負いきれず.

さて,次は年明けにて.

完全数(4年ゼミ)


ノルム和完全数探し.
あれからsageで100万まで探してみたが,見つからず.さて.
リーマンゼータを利用した評価へジャンプするか,概完全数や準完全数といった変形バージョンに移行するか.

キューブ群,結晶群(4年ゼミ)


一人目,キューブ群.
向きを変えない利点を活かして基本操作の2乗を生成元とする群でどれくらいのことができるか探索中.
SAGEを使って共役類を調べたり,位数を調べたり.


二人目,4次元正多胞体の決定に向けて.
今回はシュレ―フリ記号 (p,q,r) が正多胞体を表すとき
\cos\frac{\pi}{q}<\sin\frac{\pi}{p}\sin\frac{\pi}{r}
なる制限がつくことを示した.これで (p,q,r) が有限個になるので,SO(3) の有限部分群として捉えやすくなるのでは?

自転車の力学,整数の分割(3年ゼミ)



一人目,自転車の力学.
2粒子系での運動量やエネルギーの導出.ここから剛体の力学へと進む.




二人目,整数の分割.
物議を醸したのが,等式
 p(n-2)=p(n\mid\text{1を和因子に持たない})+p(n-2\mid \text{1の次に小さな和因子}<2+\text{和因子1の個数})
というやつ.
どうもまだこの世界の住人に成れていないので,かなり悩んだ末,宿題に.

ライツアウトの数理,野球の統計学,制御工学(4年ゼミ)


一人目,ライツアウトの数理.
フィボナッチ多項式由来の \nu_{2s}(t) の単根性の証明のつづき.
とりあえず,\nu_{a-1}\mid\nu_{ab-1},\nu_{a-1}^2\not\mid\nu_{ab-1} といった関係式を導きたく,
\nu_{ab-1}=\nu_{a-1}(\nu_{a-1}X_{a,b}+1) となる多項式X_{a,b}\in\mathbb{F}_2[t]があることを示した.
正確には奇数a,bに対し,漸化式
X_{a,b+2}=t\nu_{a-1}(\nu_{a-1}X_{a,b}+1)+X_{a,b-2},\ X_{a,1}=0
で定まるものと言いたかったが,なぜかX_{a,-1}=0が出てこないので,ここを詰めてきてもらう.
とにかくこれで,\nu_{a-1}\nu_{ab-1}の1回だけ現れる因子になることが分かる.
(だから\mu_a=\nu_{a-1}とでもしておけば,n\mid m\Rightarrow \mu_n\mid\mu_m と書けてキレイだったのに.)

さて,以前示したのは  \nu_{2^n-2}(t)\nu_{2^n}(t)=t^{2^n-1}+1 だった.そして t^{2^n-1}+1 は単根だけからなる.
ところで任意の奇数 a はもちろん 2 と互いに素なので,Eulerのtotient関数\varphi(a) によって,
 2^{\varphi(a)}\equiv1\pmod{a} が成り立つ.つまり,a2^{\varphi(a)}-1 の約数である.
そうすると,\nu_{a-1}\nu_{2^{\varphi(a)}-2} の因子であり,したがって \nu_{2^{\varphi(a)}-2}\nu_{2^{\varphi(a)}}=t^{2^{\varphi(a)}-1}+1 の因子である.
こうして,\nu_{a-1} は単根しか持たないことがようやく証明できた.
drive.google.com


二人目,DEAによる野球選手の評価.
もう,数学部分はこれ以上やらないこととして,あとはモデルの構築と計算.
まずは引用論文を参考に行うのと,なにか一つでもオリジナルなモデルでの考察が欲しい.


三人目,倒立振子の制御工学に向けて.
状態方程式からその解法まで.とここまできて,肝心の入力の制御方法に立ち入っていないことに気付く.
ということで,次は最適レギュレーターについて.
それとできればpythonによるシミュレーションまで行き着きたいが,できるかな.