ピタゴラス数.
さらなる一般化を求めて, での考察.
もはや整数を諦め,有理数にまで広げたとき,それでもピタゴラス数を結ぶ1次変換があるのだろうか,といった興味.
まぁ,しかし一旦LaTeXを落ち着かせて,完成させよう.
整数の分割,数理生物学(3年ゼミ)
一人目,整数の分割.
先週もやもやしたままだった案件.終わり際にようやく理解できた.
は最小和因子をに分割して,和因子2を持つものに変換できる.
したがってとなるが,和因子2有りのうちでからの変換で写ってこないものがとなる.
それは,変換する際,最小和因子でないものをと分解して生じる分割であり,この分割は決してからの変換では得られないものなのである.
たとえば7=4+3の3を2+1と変換して7=4+(2+1)と和因子2有りにする代わりに最小和因子でない4を2+1+1と変換すると,
7=3+2+1+1+1であり,2を取り除けば分割5=3+1+1+1を与え,その最小和因子3<2+(1+1+1)となる.
二人目,繁殖行動の数理生物モデル.
だんだんと式が激しくなってきた.最後の不等式,ちょっとどうやって式変形したのか負いきれず.
さて,次は年明けにて.
ライツアウトの数理(4年ゼミ)
ライツアウトの数理.
最後に残された,証明のためだけに必要だった多項式 については, を へ自然に伸ばせば決められる,という報告.これで, と置いて良くなった.
もう,証明すべきことはない.この話は終結.
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完全数(4年ゼミ)
ノルム和完全数探し.
あれからsageで100万まで探してみたが,見つからず.さて.
リーマンゼータを利用した評価へジャンプするか,概完全数や準完全数といった変形バージョンに移行するか.
キューブ群,結晶群(4年ゼミ)
一人目,キューブ群.
向きを変えない利点を活かして基本操作の2乗を生成元とする群でどれくらいのことができるか探索中.
SAGEを使って共役類を調べたり,位数を調べたり.
二人目,4次元正多胞体の決定に向けて.
今回はシュレ―フリ記号 が正多胞体を表すとき
なる制限がつくことを示した.これで が有限個になるので, の有限部分群として捉えやすくなるのでは?
自転車の力学,整数の分割(3年ゼミ)
一人目,自転車の力学.
2粒子系での運動量やエネルギーの導出.ここから剛体の力学へと進む.
二人目,整数の分割.
物議を醸したのが,等式
というやつ.
どうもまだこの世界の住人に成れていないので,かなり悩んだ末,宿題に.
ライツアウトの数理,野球の統計学,制御工学(4年ゼミ)
一人目,ライツアウトの数理.
フィボナッチ多項式由来の の単根性の証明のつづき.
とりあえず, といった関係式を導きたく,
となる多項式]があることを示した.
正確には奇数に対し,漸化式
で定まるものと言いたかったが,なぜかが出てこないので,ここを詰めてきてもらう.
とにかくこれで,はの1回だけ現れる因子になることが分かる.
(だからとでもしておけば, と書けてキレイだったのに.)
さて,以前示したのは だった.そして は単根だけからなる.
ところで任意の奇数 はもちろん 2 と互いに素なので,Eulerのtotient関数 によって,
が成り立つ.つまり, は の約数である.
そうすると, は の因子であり,したがって の因子である.
こうして, は単根しか持たないことがようやく証明できた.
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二人目,DEAによる野球選手の評価.
もう,数学部分はこれ以上やらないこととして,あとはモデルの構築と計算.
まずは引用論文を参考に行うのと,なにか一つでもオリジナルなモデルでの考察が欲しい.
三人目,倒立振子の制御工学に向けて.
状態方程式からその解法まで.とここまできて,肝心の入力の制御方法に立ち入っていないことに気付く.
ということで,次は最適レギュレーターについて.
それとできればpythonによるシミュレーションまで行き着きたいが,できるかな.
完全数(4年ゼミ)
ノルム和完全数探し.
手元にある道具でやれそうなことは大体やってしまった感じ.
こうなると,ちょいと方角を変えるか,足元をもう一度よく見直すか.
とりあえずSageで探してみたいところ.
キューブ群(4年ゼミ)
キューブ群.もう,いつ着地してもいいのだけど,こだわりでオリジナル結果の探索.
今回は趣向を変えて,基本操作の2乗で生成される部分群でどこまでできるだろうか,という話.
まずはこの部分群の大きさや,できれば構造を知りたいし,ちょうど軌道が立方体に内在する2つの四面体の頂点でグループ分けされるので,その特徴を生かした手順は無いものかとしばし検討.
ピタゴラス数(4年ゼミ)
ピタゴラス数.対称な方がいいだろうぐらいの気持ちでを通る直線で楕円上の有理点を探したが,これだと余弦を一般にしたとき,必ずしもを通るとは限らない.
ということで,必ず通るを始点にして書き直そう,ということに.
数理ファイナンス,数理生物学,野球の統計学(3年ゼミ)
一人目,数理ファイナンス.線形価格測度について.
現在の証券価格が,将来の状況ごとに期待される価格の期待値として定義されるというもの.
なるほど,株価は確かに人々の将来への期待と絶望の混ぜ合わせでできているものね.
二人目,空間の数理生物学.
前回拡散方程式が登場したが,その拡散係数が位置に依存するモデルについて.
ただ,なにぶん偏微分方程式なので,前提とする数学が色々と必要で,とりあえずこの方向はここまでで.
三人目,DEAによる野球の統計学.
なんとかLPまで行き着いてもらうが,ではLPはどう解くのか,についてはこれから.
ライツアウトの数理,野球の統計学,制御工学(4年ゼミ)
一人目,ライツアウトの数理.
フィボナッチ多項式由来の の単根性の証明を考える.
ここにきて,添字の付け方が一つズレているために,諸関係の発見がしにくくなっていた事実に遭遇.
たとえば, はこれで既約多項式なのだが,その理由は が素数だから.
なので, を導入したほうが見やすかったのだろう.
そもそもこの研究,フィボナッチ多項式自体通常のものと1ズレた添字の付け方をしていたのだった.
まぁいずれにしても, は を因数に持つ,というところまではいけそうだ.
ただ,因数としてもっても,べきになって入っていたら意味がないのだが.
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二人目,DEAによる野球選手の評価.
前回,双対問題を考えるのはなぜ?となって,今回はその回答.
たとえば主問題
に対し,新たな変数の組 を持ってきて,双対問題
を考える.この2つは,
でつながっていて,で最大値を,で最小値を取るなら,
が成り立つであろう,という関係式を通じてを探すことになるという寸法.
三人目,倒立振子の制御工学に向けて.
簡単な台車モデルを素材に,微分方程式を解いて解を調べる方法と,ラプラス変換で代数的に処理する方法の2つを比較してきてもらった.とりあえず,この時点で安定性の話題まで出せたので,もう倒立振子へ進もう.
何しろ,時間がない.
完全数(4年ゼミ)
ノルム和完全数.
これまでの道具でできそうなことは大方やったようだが,ノルム和完全数について,確固たる結論は未だ出ず.
もう一歩,緻密な観察がいるのだろうな.
結晶群,キューブ群(4年ゼミ)
一人目,キューブ群.
今回は卒論を記述するにあたって,表記方法の不具合に遭遇したという話.
というより,自分自身も10年ほどその表記を誤解していたという事実.
二人目,結晶群というか4次元正多胞体の決定.
ここにきて,そもそも正多胞体をどう定義するのか,という問題に戻った.
の有限部分群の軌道を頂点とする図形として捉えられると後が楽なのだが,例えば一つの頂点から最短の距離にある頂点たちが隣接点だとして辺を構成するだけでは,本当に正多胞体になるのか分からない.
さて,こっちもどうすっかなぁ...
ピタゴラス数(4年ゼミ)
-ピタゴラス数.今回でひとまず着地.
あとはLaTeX打ちと,余裕があれば,余弦定理を通じたさらなる一般化でどこまで遊ぶか.
かなり,並行した議論ができそうだが,果たしてどこが障害になるだろうか.