ライツアウトの数理，野球の統計学，制御工学（４年ゼミ）

一人目，ライツアウトの数理．
フィボナッチ多項式由来の $\nu_{2s}(t)$ の単根性の証明を考える．
ここにきて，添字の付け方が一つズレているために，諸関係の発見がしにくくなっていた事実に遭遇．
たとえば， $\nu_{12}(t)=t^6+t^5+t^4+t+1$ はこれで既約多項式なのだが，その理由は $12+1=13$ が素数だから．
なので， $\mu_{n}=\nu_{n+1}$ を導入したほうが見やすかったのだろう．
そもそもこの研究，フィボナッチ多項式自体通常のものと１ズレた添字の付け方をしていたのだった．
まぁいずれにしても， $\mu_{mn}(t)$ は $\mu_m(t),\mu_n(t)$ を因数に持つ，というところまではいけそうだ．
ただ，因数としてもっても，べきになって入っていたら意味がないのだが．
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二人目，DEAによる野球選手の評価．
前回，双対問題を考えるのはなぜ？となって，今回はその回答．
たとえば主問題
$\max \boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{x} \quad\text{ subject to }\quad A\boldsymbol{x}\le\boldsymbol{b}$
に対し，新たな変数の組 $\boldsymbol{y}$ を持ってきて，双対問題
$\min \boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{y} \quad\text{ subject to }\quad {}^tA\boldsymbol{y}\ge\boldsymbol{c}$
を考える．この２つは，
$\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{x} \le {}^t\boldsymbol{y} A\boldsymbol{x}\le\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{y}$
でつながっていて， $\boldsymbol{x}^*$ で最大値を， $\boldsymbol{y}^*$ で最小値を取るなら，
$\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{x}^*= {}^t\boldsymbol{y}^* A\boldsymbol{x}^*=\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{y}^*$
が成り立つであろう，という関係式を通じて $\boldsymbol{x}^*,\boldsymbol{y}^*$ を探すことになるという寸法．