卒論発表練習会 with ３年ゼミ（４年ゼミ）

卒論発表練習を３年を前に行う．
初めて聞く人たちにどう伝わるのかを見るためで，
これは４代目の頃から行っている行事，今年が１１代目だ．
素朴な忌憚なき感想が何より重要で，
すっかり伝わるつもりでいることが全く伝わっていなかったりする．
何よりも教員養成大学，伝えることに神経を使わなくてはね．

↓あれ，こんな日めくりカレンダー作ってるけど，暇なのかな？

卒論大詰め，しかしPzzP!（4年ゼミ）

１９日から２１日の３日は授業日程の都合で全時間をゼミに充てられることに．
ってなわけで，もちろんPizza Party!



↓ジャンケンでジュース代誰持ちか決めてからの，




↓卒論ダメ～，のポーズ．



↓そして，普段なら多分４枚じゃ足りないと思う．




さて，本題の卒論，大詰め，と行きたいところだが，さてさて．
各自しばしば路頭に迷いながらも，何とか行き着く先を求めて歩いている．

現実問題における"解答"は，
誰かから与えられるようなシロモノなんかでは断じて無い．
君が何を"解答"とするのか，それが常に問われ続けられるのだ．
アルフレッド・アドラーの言葉を借りればそれは

　　人間は自分の人生の主人公である

ということだ．
呑みこまれるな，他者の妄言に．何よりもまず，自分の目で確かめよ．

なお，数理音楽についてはようやく一つ大きめの結果が出せた．
一般化Diatonic set（つまりMyhill性を持った部分集合）同士の
転回を許した距離は２全音以下である，ということ．
一見すると図形的に明らかに見えるのだが，Diatonic set同士を重ねたとき，
一方の隣接２点間に他方の２点が入ってくることがないのだ，
ということを言っているわけで，証明が必要なことではあるからだ．

こうして大詰めになって新しい結果が出る瞬間が卒論指導の醍醐味なんだな．

スキーの力学，数理音楽，その他諸々（４年ゼミ）

一人目，スキーの力学．もう大詰めなんだけど，
横滑りターンのモデルまでできたらな，ってことでちょっとトライ．
どうしても微分方程式の数が足らず，どうしようか．
でもカービングターンは確立したので，これの数値解析に専念しても良い．
つまり上手い人がなぜ急斜面でも板をきちんと踏んでゆっくり滑れるのか，
といったことだ．で，BASICで作ってみた．

REM
REM [一本足スキーモデル]
REM ver. 2016/12/16
REM

LET tmax=3 !最大表示時間
LET wx=tmax !横軸最大
LET wy=PI !縦軸最大
SET WINDOW -wx*.05,wx,-wy*1,wy

LET m=50 !質量[kg]
LET R=10 !曲率半径[m]
LET a=PI/9 !斜度[rad]
LET g=9.8 !重力加速度[m/s^2]
LET h=0.6 !股関節位置[m]
LET HH=h*1.1 !重心の高さ[m]
LET mu=0.6 !摩擦係数

LET dt=.001 !時間の刻み幅

LET th0=PI/20 !初期θ
LET thv0=0 !初期dθ/dt
LET w0=PI/6 !初期w
LET wv0=-PI/6 !初期dw/dt
DO
   mouse poll mx,my,left,right
   IF left=1 THEN
      IF ABS(my-wy*0.9)<wy/20 AND wx>0 THEN LET th=mx/wx*PI/2
      IF ABS(my-wy*0.8)<wy/20 AND wx>0 THEN LET thv=mx/wx*PI/2
      IF ABS(my-wy*0.7)<wy/20 AND wx>0 THEN LET w=mx/wx*PI/2
      IF ABS(my-wy*0.6)<wy/20 AND wx>0 THEN LET wv=-mx/wx*PI/2
      IF ABS(my-wy*0.5)<wy/20 AND wx>0 THEN LET a=mx/wx*PI/2
       
   END if    
   LET th0=th
   LET thv0=thv    
   LET w0=w
   LET wv0=wv
    
   SET DRAW mode hidden
   CLEAR
   DRAW ruler
   DRAW axes(wx/10,wy/10)
   FOR t=0 TO tmax STEP dt
      WHEN EXCEPTION IN
         LET th1=th0+thv0*dt
         LET w1=w0+wv0*dt
         LET tha=(-g*SIN(a)*SIN(w0)/h-g*COS(a)*th0/HH+th0*thv0^2+(R/h+th0)*wv0^2)
         LET thv1=thv0+tha*dt
         LET wa=-(g*SIN(a)*COS(w0)+2*h*thv0*wv0)/(R+h*th0)
         LET wv1=wv0+wa*dt
         LET FF=-h*tha+h*th0*thv^2+(R+h*th0)*wv0^2-g*SIN(a)*SIN(w0) !摩擦抗力
         SET LINE COLOR 3!緑--静止摩擦を超えたとき
         IF FF>mu*g*COS(a) THEN
            PLOT LINES:t,-wy; t,wy
            LET t=tmax
         END if
         SET LINE COLOR 2!青--wのグラフ
         PLOT LINES: t,w0;t+dt,w1
         SET LINE COLOR 4!赤--θのグラフ
         PLOT LINES: t,th0;t+dt,th1
         LET th0=th1
         LET thv0=thv1
         LET w0=w1
         LET wv0=wv1
      USE
         LET t=tmax
      END WHEN
   NEXT t
   SET DRAW mode explicit
LOOP UNTIL left*right=1

PICTURE ruler
!エッジ角θ 
   LET p=0.9
   LET px=th*2*wx/PI
   SET LINE COLOR 4
   SET AREA COLOR 7
   GRAPH AREA:0,wy*p+wy/20;px,wy*p+wy/20;px,wy*p;0,wy*p
   GRAPH LINES:0,wy*p+wy/20;wx,wy*p+wy/20;wx,wy*p;0,wy*p
   PLOT TEXT ,AT -wx*.02,wy*p:"θ"
   PLOT TEXT ,AT px, wy*p, USING "##.#":th*180/PI
   !エッジ角速度dθ/dt
   LET p=0.8
   LET px=thv*2*wx/PI
   SET LINE COLOR 4
   SET AREA COLOR 6
   GRAPH AREA:0,wy*p+wy/20;px,wy*p+wy/20;px,wy*p;0,wy*p
   GRAPH LINES:0,wy*p+wy/20;wx,wy*p+wy/20;wx,wy*p;0,wy*p
   PLOT TEXT ,AT -wx*.02,wy*p:"θv"
   PLOT TEXT ,AT px, wy*p, USING "##.#":thv*180/PI
   !角度ω
   LET p=0.7
   LET px=w*2*wx/PI
   SET LINE COLOR 2
   SET AREA COLOR 5
   GRAPH AREA:0,wy*p+wy/20;px,wy*p+wy/20;px,wy*p;0,wy*p
   GRAPH LINES:0,wy*p+wy/20;wx,wy*p+wy/20;wx,wy*p;0,wy*p
   PLOT TEXT ,AT -wx*.02,wy*p:"ω"
   PLOT TEXT ,AT px, wy*p, USING "##.#":w*180/PI
   !角速度dω/dt
   LET p=0.6
   LET px=-wv*2*wx/PI
   SET LINE COLOR 2
   SET AREA COLOR 3
   GRAPH AREA:0,wy*p+wy/20;px,wy*p+wy/20;px,wy*p;0,wy*p
   GRAPH LINES:0,wy*p+wy/20;wx,wy*p+wy/20;wx,wy*p;0,wy*p
   PLOT TEXT ,AT -wx*.02,wy*p:"ωv"
   PLOT TEXT ,AT px, wy*p, USING "###.#":wv*180/PI
   !傾斜角α
   LET p=0.5
   LET px=a*2*wx/PI
   SET LINE COLOR 9
   SET AREA COLOR 8
   GRAPH AREA:0,wy*p+wy/20;px,wy*p+wy/20;px,wy*p;0,wy*p
   GRAPH LINES:0,wy*p+wy/20;wx,wy*p+wy/20;wx,wy*p;0,wy*p
   PLOT TEXT ,AT -wx*.02,wy*p:"α"
   PLOT TEXT ,AT px, wy*p, USING "##.#":a*180/PI
    
END PICTURE
END

二人目，数理音楽．もうここからイレギュラーで話したい人が話すことに．
12音音階におけるダイアトニック7音中の三度堆積和音たちが互いに高々距離2であること，
これを一般的枠組みの中で示そうという試みを続けている．
近いところまで来た．しかしそれをきちんと数理で追いたいわけだ．さて．

数理音楽，出会いの数理（４年ゼミ）

一人目，数理音楽．こちらの話はそろそろ佳境．
「スムーズな和音進行」をJ表現による議論で一般的に示そうという試み．
今のところ成功していないようだが，見つけるのも時間の問題だろう．
それでも五度進行という音楽的には自然とされる進行については，
数理的な意味付けができないでいる．この先，何か見つけられるだろうか？
で，気付いたら3時間やってしまっていた．

二人目，出会いの数理．こちらはある程度形は出来上がったものの，
卒論直しが大変なことに．

というか，ようやく一人赤が入れられるようになった，というべきか．

タイミングの数理―最適停止問題 (シリーズ「現代人の数理」)

スキーの力学，最適停止ゲーム，数独の数理，キューブパズル（４年ゼミ）

一人目，スキーの力学．一本足スキーモデルに固まってから
ようやく一つの連立微分方程式系まで辿り着く．
もっともこれを実際に数値計算に載せたとき使えるかどうかは全く未検証．
非線形なので上手く初期値を選ばないとおそらくは不安定かと思われる．
つまり，本当の山場はこれからなんだが，本人は気付いているだろうか．

二人目，最適停止ゲーム．もう一度ストーリーを見直し計算しなおしたら
沢山の誤りがあったそうで本日訂正版を見た．
そして当初の予定であったしかるべき不等式が維持できるのかについて
数値計算してみたらどうもそうではないという結果．
で，本人は沈没していたけれど，いやいやそうではなく，
場合分けがハッキリしたのだから，どのようにケースを使い分ければ良いのか，
が分かったわけで，つまりこうやって次の手の戦略が決定できる，
という意味で答えを得たのだよ，と気付いてもらった．
さて，あとは当人が具体的数値実験でどれだけのことをやれるか，だろう．

三人目，数独の数理．こちら，バーンサイドの補題にずっとかかりっきり．
つまり，四独の全パターンを変換群でもって分類しようということなのだ．
実際パターンが288であることは示されている一方，
変換群のサイズすら今のところ決められないでいる．２冪の群なのに．
しかし，実は２冪の有限群の分類は難しいらしく，
位数16で14個，位数32で51個，位数64で267個，位数128で2328個，
位数256で56,092個，位数512で10,494,213個なのだそうだ．
d.hatena.ne.jp
のみならず，「ほとんどすべての有限群は2-群である」なる
フォークロアがあるくらいだそうだ．
さてさて，この四独変換群，中身はいかに？

「数独」を数学する -世界中を魅了するパズルの奥深い世界-

四人目，キューブパズル．こちらは卒論編集のみなので写真なし．
なんだろう，とりあえず大まかなストーリーはできあがってしまったとこだろうか．
そして何ら難しい道具は使わず，できることをした，という感じだ．
何か足りない．どう膨らませようかね．

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

数理音楽，出会いの数理（４年ゼミ）

一人目，数理音楽．
J関数にまつわる性質の証明を完成してきてもらったのと，当人による「発見」の説明．
その集合がMaximal EvenならJ関数表現される，という証明だったのだが，
別の具体例で見てみるとどうも違っていたらしい．
連分数展開に近い扱いをしたところまでは良かったのだが，
数を挟んでいく方法が，そうきれいには書けないということが分かった．
しかし，こういったことを自分で見つけられるのも計算経験があるからだ．

二人目，出会いの数理．
とはいっても，もう今日は卒論直しに集中．
本当は全体を大幅に書き換えたいのだが，そんな元気はこちらにない．

タイミングの数理―最適停止問題 (シリーズ「現代人の数理」)

スキーの力学，最適停止ゲーム，数独の数理，キューブパズル（４年ゼミ）

本日は已む無き理由により16:30に大学を出ねばならないので，早めにゼミ開始．

一人目，最適停止ゲーム．
元となった論文でどうしても計算が合わなかった部分，どうやら当人が再度計算して
やはり正しかったと確認．そして問題はここから．
２枚カードゲーム版に拡張しようとする際，
どうしてもある種の不等式の安定性が示されねばならない．
しかし際どいところでそれが証明できない．
差し当たり，数値計算で正しいかどうか確認しようということになった．

二人目，スキーの力学．
参考論文と逆行して２本足スキーから１本足スキーに戻して力学モデルを構築している．
お蔭でかなりの部分がはっきりしてきた．
あとはまず数値解析を行ってどの程度スキーが再現できているか見るところまで行けそうだ．

三人目，数独の数理．
四独のパターンを四独に作用する群で実際に分類しよう，という試み．
闇雲にパターンを探してもきりがなく，
先にある程度群を確定してから，と行きたいところだ．
幸い，一ブロックを固定すれば全パターンは24．
これならBurnside lemmaを具体的に見せられるだろう．

「数独」を数学する -世界中を魅了するパズルの奥深い世界-

四人目，キューブパズル群．
いつの間にかたくさんの結果が積みあがってそれなりの形になってきた．
本日は卒論の構成見直しに注力．
そうそう，これは図が無いと全く伝わらないので描かねばね．

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

数理音楽，出会いの数理（４年ゼミ）

一人目，数理音楽．
三度堆積三和音が三度堆積四和音にmaximal evenに埋め込まれていること，
そのできるだけ綺麗な証明を目指した．
これは一般に互いに素なL＜M＜Nについて
LがMにMEでかつMがNにMEであるとき，LがNにME埋め込みであることの
何らかの特徴付けにつながるのだろうとは思っている．
さて，ここらで一度これまでの話をまとめ直してから，その先へ進もう．
というわけで卒論編集へ．

二人目，出会いの数理．
こちらも一旦，形を整えてからその先へ．
ということで卒論直しに終始した．
それにしても英語直訳のままではちょっと使えない．

タイミングの数理―最適停止問題 (シリーズ「現代人の数理」)

スキーの力学，最適停止ゲーム，数独の数理，キューブパズル（４年ゼミ）

一人目，スキーの力学．LaTeX打ち．
これまでのところの原稿ができあがってきたらその先を見ることとしよう．

二人目，最適停止ゲーム．
前回解決したかのように見えた1枚カードゲームの利得計算が間違っていたことが発覚．
おかげで二枚カードまで影響せずにすんだ．しかし実際の計算結果次第で
話の複雑さは変わってくるのだが，さてどんな結果に．

三人目，数独の数理．
Burnside's Lemmaの証明を一緒に見た．
そうとう噛み砕いて説明したのだけど，当人にどこまで伝わったことだろうか？
いずれにせよ，お話になってしまっている卒論を如何に卒論にするか，だ．

「数独」を数学する -世界中を魅了するパズルの奥深い世界-

四人目，キューブパズル．
毎度混乱の沼に落ちるこの話，それでも少しずつ結果を積み上げてきて，
本日振り返ってみたらある程度の形にはなりそうに思えてきた．
要するにあとは書き様なんだろう．ここからが腕の見せどころではある．

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

数理音楽，出会いの数理（４年ゼミ）

一人目，数理音楽．J表現とTonnetzをめぐる調性音楽の理解，
それは例えば典型的なコード進行を数理的に分析するという形で理解する，
そんな試みをしてきたわけだ．
もうここでこれまでの話をきちんとまとめよう．話はそれからだ．

二人目，出会いの数理．こちらもある程度の形まで来た．
だからまとめてもらう他ない．
今回は先週未解決だった確率計算の理解に徹した．
ようやく腑に落ちる解決となったわけだから，まとめに入ろう．

タイミングの数理―最適停止問題 (シリーズ「現代人の数理」)

スキーの力学，最適停止ゲーム，数独の数理，キューブパズル（４年ゼミ）

一人目，スキーの力学．
どうもこちらがなかなか話に深入りできずにいたスキーの力学，
今日は改めて全体像を眺めてちょっと見えた．
少なくとも一本足スキーだった場合のモデル化は今日のもので良さそう．
さて次はこれを何らかの方法で数値解析することだ．
もちろん微分方程式を眺めて定性的な理屈を考えることもできよう．
いずれにしてもまずは一山超えた．

二人目，最適停止ゲーム．
カード二枚の場合にゲームを拡張しようとしてゲームが非対称化した先週．
今回はもう一度事態を見直して，さしあたり相手の1枚目カードが既知だとして
ゲームの分析を行うことに．
利得に単調性があると分かれば議論は一気に進めるのだが，果たして．

三人目，数独の数理．
数独を保存する変換を決定する論文を読み始めて二回目．
見てみると非常に素朴な議論だけで決定できることが分かる．
これで変換群は定まった．お次は数独盤の群論的な分類だ．
Burnside Lemma に従って分類してみよう，ということだ．

「数独」を数学する -世界中を魅了するパズルの奥深い世界-

四人目，キューブパズル群．
色々と停滞しているのでまずはこれまで決定できた群を並べる．
改めて考えてみたら，新たに一つCheese cake型のパズル群について決定できた．
一方で以前から気になっていた，パズルの持ち方による見かけ上の違いが
群に入ってしまっているかどうかについての議論でパンクする．
冷静に考えるとやはり1ピースだけは固定しないと，
持ち方の違いを区別してしまう群になっていることは確定した．
もう，あとはきちんと一度まとめよう．話はそれからだ．

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

数理音楽，出会いの数理（４年ゼミ）

一人目，数理音楽．
どうやらTonnetzが出てきた辺りから当人の考察が深まってきたようで，
楽典で本人が学んだことと数理音楽とが上手く合い始めてきた．
ずっと五度進行の「わけ」について無理やり考えようとしてきたのだが，
和音の距離を適切に測る方法を決め，それを元にスムーズな和音進行を定義し，
一方でMaximal Evenの制約下での和音たちを眺めると，
幾つかの組合せ論的結果として確かに五度進行が現れてくる．
幸運にもtriadが7thにmaximalに埋め込まれると同時に
音を変えることなく7音音階にも埋め込める，その事実が利いているらしい．
さてさてようやく形が見え始めたのではないだろうか．

二人目，出会いの数理．
先週はどういうわけだが眠気が去らずあまり進められなかったのだが，
今日は色々不明だった点が一気に片付く．
これで出会いの回数がランダムな場合にも対応できる話になった．
さて，これまでのものを一度卒論としてまとめよう．
話を拡げるのはその後だ．

タイミングの数理―最適停止問題 (シリーズ「現代人の数理」)

スキーの力学，最適停止ゲーム，数独の数理，キューブパズル（４年ゼミ）

一人目，スキーの力学．様々な理由によって混迷を極める．
何とか手の内に収まる力学モデルを作りたいわけだが，
こちらも時間が無く，このところ週一の考察しかできないためなかなか進まない．
ところで今思ったのだが，スキー板にかかる摩擦をわざわざ板全体に亘る積分で表しても，
結局扱うのは積分結果の数値なのだから初めから質点の運動と思えば良いじゃないか．
回転運動についても同じだ．となると...

二人目，最適停止ゲーム．
前回勢いでカード２枚にしたならば，という流れを作って考察してきてもらうことにしたのだが，
実際にゲームの利得行列を書き下して考えるとたくさんの困難にぶつかることが分かった．
ゲームが非対称になるからだ．だからそれでも先に進むのか，
対称なゲームになるようなしかし現実的なゲームを何とか考案するか．
当人に任せよう．

三人目，数独の数理．
前回Burnside lemmaを持ち出して数独あるいは四独のパターンを数え上げることを始めた．
今日は落ちていた論文を見てきてもらう．
何しろ論文を直訳してくるものだから訳が分からない話になるので，
途中まで解説がてら読み進めてみた．
状況はつかめただろうから，後半は自力で理解してきてもらうことに．
うん，ちょっとは書けそうな話になりつつある．

「数独」を数学する -世界中を魅了するパズルの奥深い世界-

四人目，キューブパズル．
球の中心を通る平面で切断された立体のパズルの群を追い続けて１年．
上手く群が決定できたものもあれば未完のものもある．
何か統一的に理解できたか，といえば今のところ大きなものは無い．
それでも毎回手作業で置換の計算を続けてくる粘りは大したものだ．
そろそろ何か決定打が出ないものかなぁ...

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

数理音楽，出会いの数理（４年ゼミ）

一人目，数理音楽．
TonnetzをJ関数で見るとどうなるか，という素朴な疑問から始まった今週の報告．
そもそもTonnetz自体，よく見ると音楽的な色々な性質が集約されている．
長短３和音あり，7thも9thもあり，diminishもAugmentedもあり．
そしてスムーズな和音進行がコンパクトに表現可能となる．
まぁ，こんな良い性質があるものだからHugo Riemannは音楽に
Transformationの視点を組み込んできたわけだ．
５倍音と３倍音で軸を作って音を並べた．
それだけのことだが，そこに調性音楽の多くが組み込めている．
色々な音楽的イディオムをこのTonnetz上の変換としてまとめてきてもらうこととした．

二人目，出会いの数理．
そもそも出会う人数自体，予め分かるものではないからそこも確率変数にしよう，
という話の流れになっての初回．
で，やっぱり確率論的な文脈での数式導出に悪戦苦闘．
何だか納得できない箇所も残しながら，差し当たり先へ進むことに．

タイミングの数理―最適停止問題 (シリーズ「現代人の数理」)

スキーの力学，最適停止ゲーム，数独の数理（４年ゼミ）

一人目，スキーの力学．
できるだけモデルを簡単にして，核となる微分方程式を見つける作業．
まずは一本スキーにモデルを戻して，連立を解くに必要な微分方程式を作ること．
運動方程式からは３成分，３つが得られる．
そして一本スキーにすると未知数は４つ．あとは回転の運動方程式といったところか．
色々と不安はある．しかし，まずは一つ作り上げねば．

二人目，最適停止ゲーム．
前回ほぼ一枚カードゲームについては決着がついた．
そこでこれからはオリジナルのゲームで話を広げようとしている．
例えば２枚カードゲームで，１枚目の相手のカードは分からない，とすると
かなり通常のカードゲームの形に近くなろう．
しかし情報不完備ゲームとなるわけで，確率変数が一つ増える．
それだけですることは一気に難しかくなるように見えるのだが，さてどうなることか？

三人目，数独の数理．
結局盤面の数え上げも最後は計算機に頼ることになるので，数学的な面白味はない．
もうそういうことであれば，288通りと盤面の数え上げのできる四独全体に作用する
変換群の構造を調べようか，となった．
ここにきてようやくちょっぴり大学の数学っぽくなる．
Burnside Lemmaでどれくらい話が広げられるだろうかね．

「数独」を数学する -世界中を魅了するパズルの奥深い世界-