待ち行列，マッチング理論，天体力学（３年ゼミ）

一人目，待ち行列．ようやく推移確率行列登場．
これで推進力があがった．

例題でわかる待ち行列理論入門

二人目，マッチング理論．
前回紹介したTTCアルゴリズムと等確率に優先順位を決めて割り当てる方法が
ある意味で同じことをしている，という話．
もっともその証明を行ったのではなく，具体例でやってみせたということ．
なかなか不思議．どうしてだろう．

マーケットデザイン入門―オークションとマッチングの経済学

三人目，天体力学．
距離の二乗に反比例する万有引力の存在は，空間が三次元であることの証拠である，という話を
ニュートンポテンシャルとポテンシャルが満たすべきラプラス方程式から導いた．
途中の計算はすっとばしたのだけどね．

天体と軌道の力学

数理音楽，出会いの数理（４年ゼミ）

一人目，数理音楽．こちらの話はそろそろ佳境．
「スムーズな和音進行」をJ表現による議論で一般的に示そうという試み．
今のところ成功していないようだが，見つけるのも時間の問題だろう．
それでも五度進行という音楽的には自然とされる進行については，
数理的な意味付けができないでいる．この先，何か見つけられるだろうか？
で，気付いたら3時間やってしまっていた．

二人目，出会いの数理．こちらはある程度形は出来上がったものの，
卒論直しが大変なことに．

というか，ようやく一人赤が入れられるようになった，というべきか．

タイミングの数理―最適停止問題 (シリーズ「現代人の数理」)

スキーの力学，最適停止ゲーム，数独の数理，キューブパズル（４年ゼミ）

一人目，スキーの力学．一本足スキーモデルに固まってから
ようやく一つの連立微分方程式系まで辿り着く．
もっともこれを実際に数値計算に載せたとき使えるかどうかは全く未検証．
非線形なので上手く初期値を選ばないとおそらくは不安定かと思われる．
つまり，本当の山場はこれからなんだが，本人は気付いているだろうか．

二人目，最適停止ゲーム．もう一度ストーリーを見直し計算しなおしたら
沢山の誤りがあったそうで本日訂正版を見た．
そして当初の予定であったしかるべき不等式が維持できるのかについて
数値計算してみたらどうもそうではないという結果．
で，本人は沈没していたけれど，いやいやそうではなく，
場合分けがハッキリしたのだから，どのようにケースを使い分ければ良いのか，
が分かったわけで，つまりこうやって次の手の戦略が決定できる，
という意味で答えを得たのだよ，と気付いてもらった．
さて，あとは当人が具体的数値実験でどれだけのことをやれるか，だろう．

三人目，数独の数理．こちら，バーンサイドの補題にずっとかかりっきり．
つまり，四独の全パターンを変換群でもって分類しようということなのだ．
実際パターンが288であることは示されている一方，
変換群のサイズすら今のところ決められないでいる．２冪の群なのに．
しかし，実は２冪の有限群の分類は難しいらしく，
位数16で14個，位数32で51個，位数64で267個，位数128で2328個，
位数256で56,092個，位数512で10,494,213個なのだそうだ．
d.hatena.ne.jp
のみならず，「ほとんどすべての有限群は2-群である」なる
フォークロアがあるくらいだそうだ．
さてさて，この四独変換群，中身はいかに？

「数独」を数学する -世界中を魅了するパズルの奥深い世界-

四人目，キューブパズル．こちらは卒論編集のみなので写真なし．
なんだろう，とりあえず大まかなストーリーはできあがってしまったとこだろうか．
そして何ら難しい道具は使わず，できることをした，という感じだ．
何か足りない．どう膨らませようかね．

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

迷路の数理，トポロジカルインデックス（３年ゼミ）

一人目，迷路の数理．迷路の作り方色々で何と３回目．
今日は穴掘り法とクラスター法．
かつて粘菌が迷路を解く数理モデルを卒論にしたとき，
10進BASICでもってクラスター法の迷路を作った．
人生 進んで迷って行き止まり―迷路の数理と粘菌モデル―
そしてその生成過程を動画にしたのだった．
tokidoki.hatenablog.jp
しかし，どうやら当人はこれ以上迷路はやらないらしい．
さて，何するのかな？

二人目，トポロジカルインデックス．
今回はいよいよ連分数展開の話題．特に頭を悩ませたのが連分多項式の扱い．
連分数の力学を行列表示してしまえば済む話なのだけど，
ここは当人に付き合って連分多項式の定義だけから関係式を出すことにした．
１年次の線形数学の話題なので，再び全員でアクティブラーニングモードへ．
と，わざわざ言わなくても，ゼミってそもそもこういうものだから．

トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

数理音楽，出会いの数理（４年ゼミ）

一人目，数理音楽．
J関数にまつわる性質の証明を完成してきてもらったのと，当人による「発見」の説明．
その集合がMaximal EvenならJ関数表現される，という証明だったのだが，
別の具体例で見てみるとどうも違っていたらしい．
連分数展開に近い扱いをしたところまでは良かったのだが，
数を挟んでいく方法が，そうきれいには書けないということが分かった．
しかし，こういったことを自分で見つけられるのも計算経験があるからだ．

二人目，出会いの数理．
とはいっても，もう今日は卒論直しに集中．
本当は全体を大幅に書き換えたいのだが，そんな元気はこちらにない．

タイミングの数理―最適停止問題 (シリーズ「現代人の数理」)

スキーの力学，最適停止ゲーム，数独の数理，キューブパズル（４年ゼミ）

本日は已む無き理由により16:30に大学を出ねばならないので，早めにゼミ開始．

一人目，最適停止ゲーム．
元となった論文でどうしても計算が合わなかった部分，どうやら当人が再度計算して
やはり正しかったと確認．そして問題はここから．
２枚カードゲーム版に拡張しようとする際，
どうしてもある種の不等式の安定性が示されねばならない．
しかし際どいところでそれが証明できない．
差し当たり，数値計算で正しいかどうか確認しようということになった．

二人目，スキーの力学．
参考論文と逆行して２本足スキーから１本足スキーに戻して力学モデルを構築している．
お蔭でかなりの部分がはっきりしてきた．
あとはまず数値解析を行ってどの程度スキーが再現できているか見るところまで行けそうだ．

三人目，数独の数理．
四独のパターンを四独に作用する群で実際に分類しよう，という試み．
闇雲にパターンを探してもきりがなく，
先にある程度群を確定してから，と行きたいところだ．
幸い，一ブロックを固定すれば全パターンは24．
これならBurnside lemmaを具体的に見せられるだろう．

「数独」を数学する -世界中を魅了するパズルの奥深い世界-

四人目，キューブパズル群．
いつの間にかたくさんの結果が積みあがってそれなりの形になってきた．
本日は卒論の構成見直しに注力．
そうそう，これは図が無いと全く伝わらないので描かねばね．

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

数理音楽，待ち行列（３年ゼミ）

一人目，数理音楽．というより，まだ音楽理論の初歩の話．
音楽の話になるとついついあれこれ話したくなってしまい，
発表者そっちのけになってしまうのがまずい．
気を付けないといつまでも音楽理論の入り口をウロウロして時間を潰してしまうので，
どう音楽を数学的に扱うのか，あるいは音楽のどんな側面を数学で見るのか，
を当人によく見定めていってもらわねばなるまい．

二人目，待ち行列．
前回までは一般的枠組みの説明に終始，本日ようやく様々な量の関係に至る．
後半はポアソン過程からポアソン分布の導出．
また，例によってアクティブラーニング状態に．
どうやらこれがこの代のスタイルになるようだ．良いんじゃない．

例題でわかる待ち行列理論入門

数理音楽，出会いの数理（４年ゼミ）

一人目，数理音楽．
三度堆積三和音が三度堆積四和音にmaximal evenに埋め込まれていること，
そのできるだけ綺麗な証明を目指した．
これは一般に互いに素なL＜M＜Nについて
LがMにMEでかつMがNにMEであるとき，LがNにME埋め込みであることの
何らかの特徴付けにつながるのだろうとは思っている．
さて，ここらで一度これまでの話をまとめ直してから，その先へ進もう．
というわけで卒論編集へ．

二人目，出会いの数理．
こちらも一旦，形を整えてからその先へ．
ということで卒論直しに終始した．
それにしても英語直訳のままではちょっと使えない．

タイミングの数理―最適停止問題 (シリーズ「現代人の数理」)

スキーの力学，最適停止ゲーム，数独の数理，キューブパズル（４年ゼミ）

一人目，スキーの力学．LaTeX打ち．
これまでのところの原稿ができあがってきたらその先を見ることとしよう．

二人目，最適停止ゲーム．
前回解決したかのように見えた1枚カードゲームの利得計算が間違っていたことが発覚．
おかげで二枚カードまで影響せずにすんだ．しかし実際の計算結果次第で
話の複雑さは変わってくるのだが，さてどんな結果に．

三人目，数独の数理．
Burnside's Lemmaの証明を一緒に見た．
そうとう噛み砕いて説明したのだけど，当人にどこまで伝わったことだろうか？
いずれにせよ，お話になってしまっている卒論を如何に卒論にするか，だ．

「数独」を数学する -世界中を魅了するパズルの奥深い世界-

四人目，キューブパズル．
毎度混乱の沼に落ちるこの話，それでも少しずつ結果を積み上げてきて，
本日振り返ってみたらある程度の形にはなりそうに思えてきた．
要するにあとは書き様なんだろう．ここからが腕の見せどころではある．

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

マッチングの数理，天体力学（３年ゼミ）

一人目，マッチングの数理．
今回はTop Trading Cycle(TTC)アルゴリズムについて．
具体的に目に見える話なので，極自然にアクティブラーニング状態に．
この話も突き詰めれば色々と面白いはずなんだけど，何だか気に入らないらしい．
当人はどこへ向かいたいのだろうか...

マーケットデザイン入門―オークションとマッチングの経済学

二人目，今日はケプラーの法則へ．
観測データから得られた事実からケプラーが長い年月をかけて見つけた法則たち．
この導出の様子をずっと話してもらった．
面積速度一定から徐々に議論を深めていって，そして中心力の存在へ迫っていく．
こうしてニュートン力学の一歩手前までいくわけだ．
さて，次は何をするのだろう．

天体と軌道の力学

あれ，気付いたら今日は発表が二人だけとなった．

数理音楽，出会いの数理（４年ゼミ）

一人目，数理音楽．J表現とTonnetzをめぐる調性音楽の理解，
それは例えば典型的なコード進行を数理的に分析するという形で理解する，
そんな試みをしてきたわけだ．
もうここでこれまでの話をきちんとまとめよう．話はそれからだ．

二人目，出会いの数理．こちらもある程度の形まで来た．
だからまとめてもらう他ない．
今回は先週未解決だった確率計算の理解に徹した．
ようやく腑に落ちる解決となったわけだから，まとめに入ろう．

タイミングの数理―最適停止問題 (シリーズ「現代人の数理」)

スキーの力学，最適停止ゲーム，数独の数理，キューブパズル（４年ゼミ）

一人目，スキーの力学．
どうもこちらがなかなか話に深入りできずにいたスキーの力学，
今日は改めて全体像を眺めてちょっと見えた．
少なくとも一本足スキーだった場合のモデル化は今日のもので良さそう．
さて次はこれを何らかの方法で数値解析することだ．
もちろん微分方程式を眺めて定性的な理屈を考えることもできよう．
いずれにしてもまずは一山超えた．

二人目，最適停止ゲーム．
カード二枚の場合にゲームを拡張しようとしてゲームが非対称化した先週．
今回はもう一度事態を見直して，さしあたり相手の1枚目カードが既知だとして
ゲームの分析を行うことに．
利得に単調性があると分かれば議論は一気に進めるのだが，果たして．

三人目，数独の数理．
数独を保存する変換を決定する論文を読み始めて二回目．
見てみると非常に素朴な議論だけで決定できることが分かる．
これで変換群は定まった．お次は数独盤の群論的な分類だ．
Burnside Lemma に従って分類してみよう，ということだ．

「数独」を数学する -世界中を魅了するパズルの奥深い世界-

四人目，キューブパズル群．
色々と停滞しているのでまずはこれまで決定できた群を並べる．
改めて考えてみたら，新たに一つCheese cake型のパズル群について決定できた．
一方で以前から気になっていた，パズルの持ち方による見かけ上の違いが
群に入ってしまっているかどうかについての議論でパンクする．
冷静に考えるとやはり1ピースだけは固定しないと，
持ち方の違いを区別してしまう群になっていることは確定した．
もう，あとはきちんと一度まとめよう．話はそれからだ．

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

天体力学，音楽心理，迷路，トポロジカルインデックス（３年ゼミ）

一人目，天体力学．
久しぶりに天体の話題をやる学生が現れた．
本日は楕円の様々な表示法とそれにまつわる関係式の導出．
次回ケプラーの法則へ．

天体と軌道の力学

二人目，音楽心理．
どう数学になるのか全く未知の世界へ行こうとしている．
とりあえずは好きなようにやってもらおう．
ちょうどこちらも音響心理・音楽心理について学ぼうと思っていたところだ．

三人目，迷路．
この話，気を付けないと路頭に迷う．迷路だけに．
本日は迷路の作成法その２，壁伸ばし法．でその説明だけで終わった．
もうちょっとやっておこっか．

四人目，トポロジカルインデックス．
フィボナッチタイプの数列の準備．
行列表示してそこから一般項を出す下りでは，
ちょうど線形代数の話題となり，全員であれこれ言い合って導く，
「アクティブラーニング」的な展開となった．
しかし，最後の五角形の話，教採に出る程度の話だぞ．

トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

数理音楽，出会いの数理（４年ゼミ）

一人目，数理音楽．
どうやらTonnetzが出てきた辺りから当人の考察が深まってきたようで，
楽典で本人が学んだことと数理音楽とが上手く合い始めてきた．
ずっと五度進行の「わけ」について無理やり考えようとしてきたのだが，
和音の距離を適切に測る方法を決め，それを元にスムーズな和音進行を定義し，
一方でMaximal Evenの制約下での和音たちを眺めると，
幾つかの組合せ論的結果として確かに五度進行が現れてくる．
幸運にもtriadが7thにmaximalに埋め込まれると同時に
音を変えることなく7音音階にも埋め込める，その事実が利いているらしい．
さてさてようやく形が見え始めたのではないだろうか．

二人目，出会いの数理．
先週はどういうわけだが眠気が去らずあまり進められなかったのだが，
今日は色々不明だった点が一気に片付く．
これで出会いの回数がランダムな場合にも対応できる話になった．
さて，これまでのものを一度卒論としてまとめよう．
話を拡げるのはその後だ．

タイミングの数理―最適停止問題 (シリーズ「現代人の数理」)

スキーの力学，最適停止ゲーム，数独の数理，キューブパズル（４年ゼミ）

一人目，スキーの力学．様々な理由によって混迷を極める．
何とか手の内に収まる力学モデルを作りたいわけだが，
こちらも時間が無く，このところ週一の考察しかできないためなかなか進まない．
ところで今思ったのだが，スキー板にかかる摩擦をわざわざ板全体に亘る積分で表しても，
結局扱うのは積分結果の数値なのだから初めから質点の運動と思えば良いじゃないか．
回転運動についても同じだ．となると...

二人目，最適停止ゲーム．
前回勢いでカード２枚にしたならば，という流れを作って考察してきてもらうことにしたのだが，
実際にゲームの利得行列を書き下して考えるとたくさんの困難にぶつかることが分かった．
ゲームが非対称になるからだ．だからそれでも先に進むのか，
対称なゲームになるようなしかし現実的なゲームを何とか考案するか．
当人に任せよう．

三人目，数独の数理．
前回Burnside lemmaを持ち出して数独あるいは四独のパターンを数え上げることを始めた．
今日は落ちていた論文を見てきてもらう．
何しろ論文を直訳してくるものだから訳が分からない話になるので，
途中まで解説がてら読み進めてみた．
状況はつかめただろうから，後半は自力で理解してきてもらうことに．
うん，ちょっとは書けそうな話になりつつある．

「数独」を数学する -世界中を魅了するパズルの奥深い世界-

四人目，キューブパズル．
球の中心を通る平面で切断された立体のパズルの群を追い続けて１年．
上手く群が決定できたものもあれば未完のものもある．
何か統一的に理解できたか，といえば今のところ大きなものは無い．
それでも毎回手作業で置換の計算を続けてくる粘りは大したものだ．
そろそろ何か決定打が出ないものかなぁ...

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?