LaTeX会＋出会いの数理（4年ゼミ）

年度内最後のゼミ．というか基本はLaTeXを打つ会．
一人は既に結構打ってあったので，中断していたゼミを再開．
ずっと論文を読んできたわけだが，ようやく補題の連鎖が終わり，
メインの定理の証明に入る．
そのまま進めると本人が最後を自力でやらないことになるので，
適当なところで止めた．

他の方々はLaTeXと格闘．とにかく早く慣れてもらわないと．
そしてちょっとずつ書き溜めておいてもらうと年末が楽なんだなぁ，これが．

そうそう，全員が集まる折角の機会だったのでもちろんピザパだよ，昼．

数理音楽，キューブ群（3年ゼミ）

一人目，数理音楽．
いわゆるクラシック音楽をきちんと数理音楽的に再構成すること
を試みた論文を読んでもらっている．
今日は四声部和声の構成法からtriadや7thから7音音階を構成する方法を
至るところでenharmonicに気を使いながら見た．
古典和声理論の方法論を組み合わせ数理的に扱っているので，
ちょうど両方を見たい我々にとっては良い読み物に思う．
ホワイトボードを全く使わず，ピアノだけ使ったので写真は無い．

二人目，キューブ群．
前回から自ら見つけてきたルービックキューブ群を分析した読み物を引き続き読む．
とはいっても，最初は前回の話がなかなか再現できず，しばらくまごつく．
が，それを過ぎるといわゆるルービックキューブの第二基本定理に突入．
一通りその証明までできてしまった．あとは群構造の決定だ．
うん，4月までにルービックキューブについては完了できそう．

数理音楽（3年ゼミ）

本日は数理音楽．
前回の予告通り，一度Tonal Pitch Spaceからは離れて，
クラシック音楽の公理的扱いを行っている論文を読み始めた．
The Axiom System of Classical Harmony
http://math.bme.hu/~tobiasaj/classicalharmony14.pdf

音を鳴らしながら出ないと雰囲気が掴めないので鍵盤を持っていく．
周波数関係からオクターブ，ピタゴラス音階，純正律，そして平均律を
数理的に定義と観察を行っていく．
特に重要な視点は至るところでEnharmonic（異名同音）を注意深く扱っているところだ．
つまり，どういった考えから由来してその音（周波数）に辿り着いたか，
しかし平均律楽器に載せるときにはその由来の違いは見えなくなっている，
そのことを強く意識させるような議論の展開となっている．
音楽理論的な要請をきちんと数理的に表していくと，
色々と人工的に感じる扱いも現れるが，いま暫し黙ってみてみよう．

キューブ群（3年ゼミ）

本日はキューブ群．
テキストの「群論の味わい」では途中に寄り道が多く，ちょっとやりにくいなぁ，と思っていたら，
当人がこのテキストをもとにルービックキューブの分析のみを行った論文を見つけてきた．
おお，これなら最短で全体像が見渡せる．
「行き詰まったら何か別の手を考える」
この頃はこういった勉強の仕方ができる学生が少なくなったと感じる中，
「いいじゃん」と思った次第．

半直積の定義から初めて，規則を無視したキューブ群の決定まで一気に進んだ．
次回でキューブ群決定できるかな．

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

数理音楽（3年ゼミ）

春休み中は個別位に進める人は進むという形式．
今日は数理音楽．一昨年やった和音の空間配置の話を読んだ後，
Fred LerdahのTonal Pitch Spaceを援用した楽曲分析を今回は試みている．
とはいえ参考にした論文に間違いが多く，かつ和音感距離の重み付けに
何か数理的妥当性があるわけでもないので理論は組み立てづらい．
そこで次回からは最近見つけた古典音楽の数理的公理を提唱している論文を
読んでみることにした．

Tonal Pitch Space

スキーの力学，数理音楽，15ゲーム，出会いの数理

一人目，スキーの力学．
コブ斜面を滑る話の続き，今回は撃力がテーマ．
安定の硬化できるための条件，そのために膝が吸収すべき撃力の考察など，
高校物理の範囲でまだまだ色々できるようだ．

二人目，数理音楽．
Fred Lerdahlのtonal pitch spaceの理論を元にした，
Jazzバージョンの理論を調べてもらっている．
とはいえ，理論自体が例えばこんなことをしたらどうだろう？感がある．
つまり，古典音楽理論に乗るように最適化された道具立てだ．
それは数理的必然ではなく，どうやら音楽はそうなっている，ということを記述した感じだ．
でも，色々なヒントはありそうだ．

Tonal Pitch Space

三人目，出会いの数理．
原論文を読み続けている．細かい評価が続く．
しかし2月に入るとやれる時が無いことに今気づく．
このまま読み終わらずに4月までとなると，ちょっとまずいな．

四人目，15ゲーム．
でも群の作用という視点が必要だということで，その辺りの勉強をしてきたようだ．
でもこちらも始めたところでお休みとなるとまずいな．

和音の古典理論の数理モデル，キューブ群，15パズルと群論，ゲーム理論

一人目，数理音楽．
今回からLerdahlのTonal Pitch Spaceの理論を見てもらうことに．
とはいっても，これについて日本人が紹介しているのでそのサイトの話．
そこに博士論文があるので次回からそれを読んでくるとのこと．
平行してリハーモナイズなどなど，音楽的側面も勉強してもらう．
数理音楽は数学・音楽両方の感覚が必要だからだ．

Tonal Pitch Space

二人目，キューブ群．まだスライス群で止まっているところだが，
そろそろ決定しよう．とあと一歩の所まで来て当人が混乱．はい，次回．

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

三人目，15パズルの群論的扱い．
自らそれらしい群論の本を探してきて，本日はそこからのお話．
とても不慣れな感じだったが，早くこの世界の住民になってもらうと良い．

置換群から学ぶ組合せ構造

四人目，ゲーム理論．原論文を読もうとしているのだが，何とも分かり辛い．
定義をはっきりさせるだけで時間を使ってしまった．これも慣れるほかないんだろうな．
でもそろそろはっきりさせないと本人が嫌になってしまいかねない．
とは言え，今週は土日の休みもなく10連勤中で，そろそろ頭が動かなくなってきた．
すまん，今日はあまり相手ができなかった，許せ．

スキーの力学，キューブ群，出会いの数理，ゲーム理論（３年ゼミ）

一人目，スキーの力学．
一定のリズムでコブ斜面を降りるには傾斜度に応じて飛び方を変える，
という結論を高校物理の範囲で説明した．

二人目，キューブ群．スライス群の決定の続き．
あれあれ，で，Ker(p)は決まったんだっけ？

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

三人目，ゲーム理論．
定義が続くのだが，どうにも原論文の書きぶりが読みにくい．
数式でサラリと書けば良いものを，わざと分かりにくく書いているような...

四人目，出会いの数理．補題の連鎖が続く．
それでも一週間経ってもう一度話を聞いてみると，
色々と不等式がすっきり見えるようになってくる．
これで少なくとも先週の懸案事項は無くなった．

和音の空間配置，スキーの力学，キューブ群，出会いの数理（３年ゼミ）

一人目，和音の空間配置．
最後の実際の楽曲への理論適用の部分．とはいってもなんちゃって適用で，
本当はなぜその音たちを使うのかといった数理音楽的背景が追究されねばならない．
そしてそれがこれから行われる研究だろう．
ということで，音楽理論についても学んできてもらうよう勧めた．

二人目，スキーの力学．前回のジャンプの話題の続き．
完全に高校物理の範囲だけで伸身ジャンプが無駄な動きであることを説明していた．
お次は何かな．

三人目，キューブ群．スライス群の決定に向けて．
非常にちょっとずつ進むわけだが，テキストの書きぶりが読みにくいのも確か．
もうしばし悪戦苦闘しないとこの世界の住人には成れないようだ．

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

四人目，出会いの数理．原論文の続き．
かなり強引な（つまり結果ありきの）不等式が連続して相当読みにくいのだろうが，
それでも果敢にトライしてきているのは大したもの．
で，午後の部は皆でワイワイ議論しながらこの話一つとなった．

キューブ群，和音の空間配置，15ゲーム，出会いの数理（３年ゼミ）

一人目，キューブ群．スライス群の決定がこれから暫く続く．
スライス群の決定にあたっては，６面体の対角線の置換がS₄なのだということ，
丁度１年前に４年ゼミで悩んだところだった．今となっては当たり前に思えることだが．

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

二人目，和音の空間配置．前回のn次元版の証明．
さてさて，これで卒論の内容はほぼ終わり．というか，ここからが本当の始まりなのだが，
どう進むかね．

A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice (Oxford Studies in Music Theory)

三人目，15ゲーム．やっぱり組み合わせトポロジー的な部分が現れる．
どうして偶置換が現れるのか？その一般形での証明が見たい．
さて，どう説明してくるだろうか．

四人目，出会いの数理．ずっと原論文を読んでいる．
補題の証明なんだが，一カ所クリアーできず．うん，年越しだね．

和音の空間配置，スキーの力学，キューブ群，15ゲーム，ポーカー（３年ゼミ）

一人目，和音の空間配置．昨年度の卒論の続き．
いよいよtriadをT³/S₃に配置する話へ．
そういえば昨年，綺麗な形にするのにえらく時間かかったんだよな，
ということを聞きながら思い出していた．

二人目，スキーの力学．
何やらジャンプの話が始まる．質点の動力学として，初歩的な話．
伸身ジャンプと屈伸ジャンプ．コブ斜面での速度が出るのはとちらだ，
みたいな話をシンプルにやっていくようだ．
ノートを見たら何やらいろいろやっていた．良いね．

三人目，キューブ群．とはいってもほとんど時間がなくちらりと．
今度こそスライス群へ．

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

四人目，15ゲーム．
何となくテキストを読んで分かった気になるものの，
よくよく見ると色々と穴が．
そういったところを詰めていくのがゼミなのさ．
15ゲーム，きちんとやると組み合わせトポロジー的な話にもなりそうで，
それはそれで面白そうだ．

ゲームにひそむ数理―ゲームでみがこう!!数学的センス

五人目，ポーカーを不完全情報ゲームとして扱う話．
今日は抽象的にゲームの木を展開．
しかしそこに現れる記号たちの意味がやや不確定で
その辺りをもう一度吟味してきてもらうことに．

キューブ群，スキーの力学，確率ゲーム，出会いの数理（３年ゼミ）

一人目，キューブ群．先回基本定理を２つ見た．
でそろそろ本題に入っていく前のちょっとした群論的事実を．
可移性と群の形について．偶置換になると可移性が２減るのだね．
さて，次回から本題に．まずはスライス群から．

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

二人目，スキーの力学．回転運動の運動方程式について，演習を２つ．
さて，そろそろこちらもスキーに戻りますか．

三人目，確率ゲーム．なにやらポーカーを素材に
ゲーム理論的扱いをした修士論文を探してきたらしい．
「後悔の最小化」とな．調べたら，例えばこんな記事があった．
テキサスホールデムの最適解は求まるか | Scene Research Station
さて，どこまで数学でどこからがシュミレーションになるかな．

四人目，出会いの数理．
ずっと論文Optimal selection based on relative rank:Optimal selection based on relative rank
を読み進めている．要領良く話をするのでやりやすい．
さて，何やら補題が出てきたところで次回に．

数理音楽，スキー，組み合わせゲーム，出会いの数理（３年ゼミ）

一人目，数理音楽．ずっとTymoczkoの和音の空間配置に向けて，
昨年度の卒論を読んでいる．今回は和音間の位相，とまではいかないけど，
何らかの意味で遠い近いを判断する二項関係を導入．
Submajorizationについて，基本的な性質を証明した．

二人目，スキーの力学．あまり時間がなかったのでざっとした話で終わった．
回転運動の運動方程式について見ようとしたわけだが，
外積表現などが上手く理解されていなくて，
もう一度落ち着いて見てもらおうと思う．

三人目，組み合わせゲーム．
いわゆる15ゲームを見ているところ．
置換パズルなのでまぁ群論になるわけだが，
パズドラなんかに上手く結び付けられるのだろうか．

ゲームにひそむ数理―ゲームでみがこう!!数学的センス

四人目，出会いの数理．いわゆる「海辺の美女問題」とよばれる，
最適停止問題を原論文にあたって読んできている．
Optimal selection based on relative rank
Israel Journal of Mathematics, June 1964, Volume 2, Issue 2, pp 81-90.
少々その考え方に慣れるのに時間がかかりそう．
３年のうちに読んでしまえると良いが．

スキー，キューブ群，数理音楽，確率ゲーム，出会いの数理（３年ゼミ）

一人目，キューブ群．ようやくルービックキューブそのものが登場．
群の作用，transitivity，そしてルービックキューブの基本定理１が登場．
これはルービックキューブの状態が何によって完全に記述されるかを表したものだ．

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

二人目，スキーの力学．今日は回転運動と慣性モーメントについて．
ところどころベクトルなのかスカラーなのかごっちゃになるものの，
ちょっとずつ進んでいる．

三人目，数理音楽．でも時間がなかったので三和音の表示方法についてちらっと．

四人目，確率ゲーム．ポーカーをモデルに組み合わせの数をあれこれ考えている．
この話題，何を問題とするかで大きく方向性が変わってくる．
具体的な数値にしてしまうと問題が見えなくなるから，変数化してあれこれ考えたい．

五人目，出会いの数理．前回の組み合わせ等式の証明．
できるかな？と一週待ってみたところ，見事答えてくれた．Good job．

スキー，キューブ群，数理音楽，確率ゲーム，出会いの数理，組み合わせゲーム（３年ゼミ）

一人目，数理音楽．今回は不協和度曲線の周辺．
出てくる数式自体に意味があるわけではなく，
心理実験結果に近い曲線を作ってみた，ということだ．
純音のモデルだけから複合音についての実際の心理的効果が見える点
がこの話の面白いところ．

二人目，スキーの力学．というかしばらくは力学そのものの勉強だ．
今回は剛体のモーメント，剛体の釣り合い条件について．
次回には回転運動の方程式出てくるかな？

三人目，キューブ群．といいながら群論の復習．
なかなかキューブパズルそのものが出てこないぞ．
授業でやっただろう準同型やら何やらは自分で勉強してもらって
キューブ群に関する部分へさっと行けないものかな．

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

四人目，組み合わせゲーム．何でもペグソリティアは前回で終わりらしい．
今回は15パズル．平面の置換群の話しだが，
今回観察したのは2×2の3パズルだ．早速偶・奇に着目した議論に．
次回に続くらしい．

ゲームにひそむ数理―ゲームでみがこう!!数学的センス

五人目，出会いの数理．なんと元論文を読み始めた．
きちんと問題を定式化した後，条件付き確率の計算へ．
その中でちょいと面白い関係式に出会う．n≧i≧k≧jとして

その時はすっと分からなかったが，よくよく意味を考えたらそうだね．