スキーの力学，最適停止ゲーム，数独の数理，キューブパズル（４年ゼミ）

一人目，スキーの力学．
どうもこちらがなかなか話に深入りできずにいたスキーの力学，
今日は改めて全体像を眺めてちょっと見えた．
少なくとも一本足スキーだった場合のモデル化は今日のもので良さそう．
さて次はこれを何らかの方法で数値解析することだ．
もちろん微分方程式を眺めて定性的な理屈を考えることもできよう．
いずれにしてもまずは一山超えた．

二人目，最適停止ゲーム．
カード二枚の場合にゲームを拡張しようとしてゲームが非対称化した先週．
今回はもう一度事態を見直して，さしあたり相手の1枚目カードが既知だとして
ゲームの分析を行うことに．
利得に単調性があると分かれば議論は一気に進めるのだが，果たして．

三人目，数独の数理．
数独を保存する変換を決定する論文を読み始めて二回目．
見てみると非常に素朴な議論だけで決定できることが分かる．
これで変換群は定まった．お次は数独盤の群論的な分類だ．
Burnside Lemma に従って分類してみよう，ということだ．

「数独」を数学する -世界中を魅了するパズルの奥深い世界-

四人目，キューブパズル群．
色々と停滞しているのでまずはこれまで決定できた群を並べる．
改めて考えてみたら，新たに一つCheese cake型のパズル群について決定できた．
一方で以前から気になっていた，パズルの持ち方による見かけ上の違いが
群に入ってしまっているかどうかについての議論でパンクする．
冷静に考えるとやはり1ピースだけは固定しないと，
持ち方の違いを区別してしまう群になっていることは確定した．
もう，あとはきちんと一度まとめよう．話はそれからだ．

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

天体力学，音楽心理，迷路，トポロジカルインデックス（３年ゼミ）

一人目，天体力学．
久しぶりに天体の話題をやる学生が現れた．
本日は楕円の様々な表示法とそれにまつわる関係式の導出．
次回ケプラーの法則へ．

天体と軌道の力学

二人目，音楽心理．
どう数学になるのか全く未知の世界へ行こうとしている．
とりあえずは好きなようにやってもらおう．
ちょうどこちらも音響心理・音楽心理について学ぼうと思っていたところだ．

三人目，迷路．
この話，気を付けないと路頭に迷う．迷路だけに．
本日は迷路の作成法その２，壁伸ばし法．でその説明だけで終わった．
もうちょっとやっておこっか．

四人目，トポロジカルインデックス．
フィボナッチタイプの数列の準備．
行列表示してそこから一般項を出す下りでは，
ちょうど線形代数の話題となり，全員であれこれ言い合って導く，
「アクティブラーニング」的な展開となった．
しかし，最後の五角形の話，教採に出る程度の話だぞ．

トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

数理音楽，出会いの数理（４年ゼミ）

一人目，数理音楽．
どうやらTonnetzが出てきた辺りから当人の考察が深まってきたようで，
楽典で本人が学んだことと数理音楽とが上手く合い始めてきた．
ずっと五度進行の「わけ」について無理やり考えようとしてきたのだが，
和音の距離を適切に測る方法を決め，それを元にスムーズな和音進行を定義し，
一方でMaximal Evenの制約下での和音たちを眺めると，
幾つかの組合せ論的結果として確かに五度進行が現れてくる．
幸運にもtriadが7thにmaximalに埋め込まれると同時に
音を変えることなく7音音階にも埋め込める，その事実が利いているらしい．
さてさてようやく形が見え始めたのではないだろうか．

二人目，出会いの数理．
先週はどういうわけだが眠気が去らずあまり進められなかったのだが，
今日は色々不明だった点が一気に片付く．
これで出会いの回数がランダムな場合にも対応できる話になった．
さて，これまでのものを一度卒論としてまとめよう．
話を拡げるのはその後だ．

タイミングの数理―最適停止問題 (シリーズ「現代人の数理」)

スキーの力学，最適停止ゲーム，数独の数理，キューブパズル（４年ゼミ）

一人目，スキーの力学．様々な理由によって混迷を極める．
何とか手の内に収まる力学モデルを作りたいわけだが，
こちらも時間が無く，このところ週一の考察しかできないためなかなか進まない．
ところで今思ったのだが，スキー板にかかる摩擦をわざわざ板全体に亘る積分で表しても，
結局扱うのは積分結果の数値なのだから初めから質点の運動と思えば良いじゃないか．
回転運動についても同じだ．となると...

二人目，最適停止ゲーム．
前回勢いでカード２枚にしたならば，という流れを作って考察してきてもらうことにしたのだが，
実際にゲームの利得行列を書き下して考えるとたくさんの困難にぶつかることが分かった．
ゲームが非対称になるからだ．だからそれでも先に進むのか，
対称なゲームになるようなしかし現実的なゲームを何とか考案するか．
当人に任せよう．

三人目，数独の数理．
前回Burnside lemmaを持ち出して数独あるいは四独のパターンを数え上げることを始めた．
今日は落ちていた論文を見てきてもらう．
何しろ論文を直訳してくるものだから訳が分からない話になるので，
途中まで解説がてら読み進めてみた．
状況はつかめただろうから，後半は自力で理解してきてもらうことに．
うん，ちょっとは書けそうな話になりつつある．

「数独」を数学する -世界中を魅了するパズルの奥深い世界-

四人目，キューブパズル．
球の中心を通る平面で切断された立体のパズルの群を追い続けて１年．
上手く群が決定できたものもあれば未完のものもある．
何か統一的に理解できたか，といえば今のところ大きなものは無い．
それでも毎回手作業で置換の計算を続けてくる粘りは大したものだ．
そろそろ何か決定打が出ないものかなぁ...

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

迷路の数理，トポロジカルインデックス，待ち行列，マッチング（３年ゼミ）

諸々の事情によって初回が伸びに伸びた３年ゼミ．
「何を話せばいいの？」という初回のみの戸惑いもお約束．
それでは始めて行こう．

一人目，迷路の数理．ただその前に読んでいた本からの話題も紹介．
まず有名な142857の話を始めた．例えば1÷7の筆算を詳細に見れば，
実はそこに初等整数論で学んだフェルマーの小定理が隠れている，
ってな補足を付けて「小学算数でも整数論ができる」といった話をしてみた．
迷路についてはとりあえずちょうど良いテキストもないので，
過去に粘菌で迷路探索する話を卒論でやったので，それを渡しておいた．
今日は迷路の作り方について．

大人の算数 子どもの数学―「不思議な数」と「美しい図形」の世界

二人目，トポロジカルインデックス．
これは以前から気になっている有機化学の先生が唱える理論．
随分と大胆なネーミングなのだが，フィボナッチと異性体数とピタゴラス数が
互いに関連しあってるって話．今日はフィボナッチ．

トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

三人目，待ち行列．
今日はとにかくできるだけ一般的な枠組みでの初期設定を行う．
しかし一回では足りず，次回へ．
これはこれで至る所に見られる現象だから，
広げようは幾らでもあるのだが，本質的に面白い話にどうできるか，は
本人の力量による．さてさて．

例題でわかる待ち行列理論入門

四人目，マッチング．
部屋割りの話や男女マッチングの話は過去に2年続けて行った．
久しぶりにこの世界に戻る．
今度は整数計画法の枠組みでやってみるのも良いかもしれない．
しかし当人，ちょっと「これじゃない感」を持ってるらしく，
当面はあまり乗っからないことにしよっと．

マーケットデザイン入門―オークションとマッチングの経済学

数理音楽，出会いの数理（４年ゼミ）

一人目，数理音楽．
TonnetzをJ関数で見るとどうなるか，という素朴な疑問から始まった今週の報告．
そもそもTonnetz自体，よく見ると音楽的な色々な性質が集約されている．
長短３和音あり，7thも9thもあり，diminishもAugmentedもあり．
そしてスムーズな和音進行がコンパクトに表現可能となる．
まぁ，こんな良い性質があるものだからHugo Riemannは音楽に
Transformationの視点を組み込んできたわけだ．
５倍音と３倍音で軸を作って音を並べた．
それだけのことだが，そこに調性音楽の多くが組み込めている．
色々な音楽的イディオムをこのTonnetz上の変換としてまとめてきてもらうこととした．

二人目，出会いの数理．
そもそも出会う人数自体，予め分かるものではないからそこも確率変数にしよう，
という話の流れになっての初回．
で，やっぱり確率論的な文脈での数式導出に悪戦苦闘．
何だか納得できない箇所も残しながら，差し当たり先へ進むことに．

タイミングの数理―最適停止問題 (シリーズ「現代人の数理」)

スキーの力学，最適停止ゲーム，数独の数理（４年ゼミ）

一人目，スキーの力学．
できるだけモデルを簡単にして，核となる微分方程式を見つける作業．
まずは一本スキーにモデルを戻して，連立を解くに必要な微分方程式を作ること．
運動方程式からは３成分，３つが得られる．
そして一本スキーにすると未知数は４つ．あとは回転の運動方程式といったところか．
色々と不安はある．しかし，まずは一つ作り上げねば．

二人目，最適停止ゲーム．
前回ほぼ一枚カードゲームについては決着がついた．
そこでこれからはオリジナルのゲームで話を広げようとしている．
例えば２枚カードゲームで，１枚目の相手のカードは分からない，とすると
かなり通常のカードゲームの形に近くなろう．
しかし情報不完備ゲームとなるわけで，確率変数が一つ増える．
それだけですることは一気に難しかくなるように見えるのだが，さてどうなることか？

三人目，数独の数理．
結局盤面の数え上げも最後は計算機に頼ることになるので，数学的な面白味はない．
もうそういうことであれば，288通りと盤面の数え上げのできる四独全体に作用する
変換群の構造を調べようか，となった．
ここにきてようやくちょっぴり大学の数学っぽくなる．
Burnside Lemmaでどれくらい話が広げられるだろうかね．

「数独」を数学する -世界中を魅了するパズルの奥深い世界-

数理音楽，出会いの数理（４年ゼミ）

一人目，数理音楽．
完全に問題を何にすべきかで路頭に迷っている今日このごろ．
J関数で和音の隣接関係のグラフを書くとどうか，との提案に
素直に作業を進めてきたものの，特別に何かが見つかる様子も見えない．
モードを変えるとdiatonicは五度（7半音）シフトする．
一般のc個中d個ならどうなる，という数学の問題にはできるものの，
音楽的意味へ迫るものでもない．さてさて．

二人目，出会いの数理．
前回一様分布で展開できた話を一般の分布で見てみよう，という回．
やってみると全てが平行に進む．最後の最適行動に関わる解の列が
分布によって変わりうるだけ，とな．
もちろん一様分布に比べて現実問題の分布では比較してどうか，
といった定性的な議論はできる．
まだまだ時はあるし，この後話をどう広げていくかね．

タイミングの数理―最適停止問題 (シリーズ「現代人の数理」)

スキーの力学，最適停止ゲーム，数独の数理，キューブパズル（４年ゼミ）

一人目，スキーの力学．
前回は撃力のみの考察によるエッジ角とスキーの回転角度の関係が出ていたのだが，
これを実際に曲線として実現したいなぁ，とボヤーッと思っていた．
が，今日も論文の解読から始まる．しかし色々と不明かつ不安な点があって，途中から頓挫．
こちらも落ち着いて考える時間があれば良いのだが，この所そうもいかない．
何とか自力で形になるものを見つけて欲しいのだが，なかなか．

二人目，最適停止ゲーム．
簡単なカードゲームの最適戦略を検討中．
前回ちょっと参考論文を真似して手を動かして見たら結果らしいものに近づいた．
今日はその詳細を詰めてきてもらった．そしてほとんど解答に近づいたが，
最後の最後，どうも論文が違っているようで修正して，無事着地．
この話の真似をすればもう少し現実のカードゲームに近いモデルが作れそう．
ようやく見えてきたかな．

三人目，数独の数理．
前回は数独の全パターン数を数えたと称する論文を読み始め見てきてもらった．
が，残念なことに全てが数式上で出たわけでなく，肝心な部分はコンピュータによる探索に．
まぁ，予想されたことではあるが，それではこれをどう卒論にしようか．
一方で，当初から頭にある，数独の難しさの定量化を考えるというのも問題としてはあるのだが，
これには数独を解く手順の研究が先決に思える．さて．

「数独」を数学する -世界中を魅了するパズルの奥深い世界-

四人目，キューブパズル群．
一進一退を繰り返すこの話．ひたすら置換の計算を力づくで行って群を決定してきたが，
そろそろ別のアプローチがないと，これ以上は進展しない．
前回は同一色で塗りつぶして問題を簡単にする，というアイディアが出た．
ということは塗りつぶす前の群と後の群とでは当然準同型があるわけで，
何らかの群拡大として得るわけにはいかないものだろうか，という提案をしてみた．さて．

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

で，本日はこの後，３年ゼミ生歓迎会，ってことで露菴へ．
www.good-promise.co.jp

知立呑み，自分は車なので呑まず食に勤しむ．
露菴は一品一品が美味いので飲まなくても楽しめる．
しかし，こうしたイベントがめっきり減ったのも
自分自身にかつての元気さが無くなったことが大きいと感じる今日この頃．

さて，これで後は
年末にかけての猛ダッシュしかありませんね．

数理音楽，最適停止ゲーム（４年ゼミ）

一人目，数理音楽．
まずはJ関数でmodeを一つ変えると和音の一音だけが変わることの証明．
結局引き出し論法で示すのが早かった．まぁ，代数的なことだからね．
で，その後やはり何を問題にするのかが問題となる．
それは文化なのか，数理的背景のあることなのか，ということだ．

二人目，出会いの数理．
前回完全情報モデルで一様分布下での最適停止問題に決着を付けた．
今回は分布を変えて考えてごらん，ということで考えてきてもらう．
あらためて整理し直すと，議論の自体は一般の分布で可能．
最適停止のタイミングが変わってくるのだが，
それについての例えば一様分布との比較などができると良い．
本当は絶対ベストを拾う確率が出せると良いのだが，テキストにはそこまで無い．
さて，どうしようかね．

タイミングの数理―最適停止問題 (シリーズ「現代人の数理」)

スキーの力学，最適停止ゲーム，数独の数理，キューブパズル（４年ゼミ）

一人目，スキーの力学．
読んでる論文に詳細が無いということでちょと留まりかけていたのだが，
その前に読んでいたテキストに立ち戻り，質点の運動としての議論だけで，
エッジ角と回転角度と斜面斜度の関係が出せることが改めて分かる．
おぉ，そうするとここから質点の微分方程式を立てても良い．
ようやく核になる話がこれで作れそうだ．

二人目，出会いの数理．
前回，最適方程式を導くに当たり疑問だった漸化式を本日解明．
どうやらちゃんと後退的に計算していけば主張のようになる．
これで一様分布で値が出てくる場合は完全に分かったことになる．
では，より現実味のある分布ではどうか？
というところがオリジナルの研究につながるはずだ．
ところでこの話で，絶対ベストに落ち着く確率は出せていないのだが，
無情報の秘書問題より今回の様に有界な分布が分かっている完全情報のほうが
ベストを選ぶ確率が上がるのだが，考えてみれば確かにそうだね．

タイミングの数理―最適停止問題 (シリーズ「現代人の数理」)

三人目，数独の数理．
こちらものんびりと進めてきたのだが，そろそろ卒論にできる形にせねば．
差し当たり，数独のパターン数をカウントすることを主眼にして進めよう．
実際に議論を行っている論文がPDFで落ちていたのでいくつか紹介．
次回から本格的に見てきてもらうことに．さて，できるかな？

「数独」を数学する -世界中を魅了するパズルの奥深い世界-

四人目，キューブパズル群．
本来は一般的にどんな群になりそうか検討するために，
具体的な場合での群探しをしていたのが先週，
で，今週その考え方に間違いがあったことに気付いて，一時停滞．
しかし，学生の「同色に塗ってしまって簡単にする」アイディアにより，
ここ３週ばかりの努力が無駄にならずに済む．
さて，それにしても群論的道具が全く登場せずにここまでやってきたのだが，
そろそろ群を準同型の核で捉える方向に進めないかな．
で，気付いたら19:30過ぎていた．疲れた．

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

数理音楽，最適停止ゲーム（４年ゼミ）

一人目，数理音楽．気を抜くと何をしたら良いのかわからなくなるこの分野，
このところはとにかく音楽でよく現れると言われるコード進行図に対し，
数理的モデルを設定して説明する，ということに専念している．
結局，Ｊ表現すると多くの部分は+1,2,3が現れ，トニックの周辺だけ-1,2,3もあるということ．
そして＋の理屈付けとして差し当たり調性の「引力」なるものを想定しよう，ということに．
それは多元的なポテンシャル，とも捉えたい「何か」だ．
でもそろそろ，というよりはここで一度まとめる意味でこれまでのところをTeXにしてもらおう．
J関数についてだけでも，示さねばならないことは多いのだから．

二人目，最適停止ゲーム．
原論文が手にはいらないのだけど，それに近い論文を前回見てもらった．
で，本日はそのやり方を真似てみたわけだが，おや，どうやら上手くいく．
しかし，肝心のその上手くいった部分の写真を撮り忘れていたことに今気づいた．
まぁ，やることは分かっているのだから後は本人の力だけだ．
これが片付いたらもう少しだけポーカーに近い不完全情報ゲームに進めば，
話としてはなかなかイケるのではないかな．

数独の数理，数理音楽，キューブ群（４年ゼミ）

今日は木曜で３年ゼミ日だけど，明日教育実習で大学不在なので振替．

一人目，数独の数理．
前回から数独のパターン数を数える，という話になった．
もちろん肝心な部分は論文に委ねられていてテキストには載っていない．
何でも同値類でどんどん割っていくと，
最終的には４４通りにパターンが集約されるそうなんだが．
ちょいと探すとそれらしい論文が落ちていた．さて，どうするかな．

「数独」を数学する -世界中を魅了するパズルの奥深い世界-

二人目，数理音楽．
今回は音楽でよく使われるコード進行を集約したような図が
www.readmusicfree.com
ChordSpace Home
にあったりするので，とりあえずその理由を考えてきてもらうことにした．
で，これらの進行をJ-表現でみると，結局±1,2,3の変化だと分かる．
しかしよくよく考えればこれは組合せ的にそうならざるを得ない，とも言える．
ただし方向性があるので，そこはまだ意味を追求できそうなのだ．
何しろ全く手ごろなテキストの無い話だから，すぐに路頭に迷いやすい．
よ～く行先を考えつつ手を付けなければね．
あれ，気付いたら３時間以上やっていた．頭痛い．

三人目，キューブ群．
オリジナルなパズルを考え，その群構造を決定しよう，のコーナー．
ひたすら置換の計算をしてきてもらうことになるのだが，
今日また間違いの発見と，しかしそれによってまたちょっと進む．
ただ，一般のn本切断となるとそろそろ別の道具立てを考えねばキツイかも知れない．
例えば何らかの準同型の核として捉えるやりかたは，
ルービックキューブでもやった方法だ．
できるかな，どうかな？

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

スキーの力学，最適停止ゲーム，数独の数理，キューブパズル（４年ゼミ）

一人目，スキーの力学．昨日の今日．
モデルづくりのヒントに，と論文を見てきたが，
ここにきて問題の所在を再確認する必要が出てきた．
ターンの前半で十分に板を「踏む」．
そのことによって急斜面でもスピードオーバーにならずにターンが続けられる，
その方法を探ろう，ということだった．
何とかもっと単純なモデルで，しかし本質をつかんだモデルはできないものかなぁ．
ってことで，当初読んでいたテキストに戻ることに．

二人目，最適停止ゲーム．こちらも二日連続で．
問題は色々山積みのままだったので考える事ばかりなのだが，
とりあえず本日は残っていた部分を紹介してもらう．
二人ゲームの最適方程式導出まではこれで大体把握できたわけだが，
当人の考えたいゲームに戻ったとき，
どこまでこの参考にしている論文のやり方が真似できるだろうか．

三人目，数独の数理．こちらは何と４か月ぶりだ．
ラテン方陣をやってきたわけだが，漸く数独に入れるらしい．
本日は数独のパターン数を数える，という課題．ヒューリスティック解を今回は紹介した．
これは Z/10Z での連立方程式の問題になるとも言えるし，
だから数独を解くということは，整数計画問題を解くということになるのだろうね．
でもどこまで当人がやってくれるかは分からない．
とりあえずテキストを読んでいるし，テキストには整数計画法は現れないようだから．

「数独」を数学する -世界中を魅了するパズルの奥深い世界-

四人目，キューブパズル．さすがに四人目は頭がボーっとするのだが．
オリジナルパズルに手掛け始めたわけだが，
４本カットパズルの群を決定しようとしてひたすら置換の計算をする．
多分A₇なんだが，証明に必要な最後のパーツが見つからない．
もう一度落ち着いて整理してきてもらうことに．
で，前回分かったつもりになっていた簡単なキューブパズルの群が間違っている疑惑．
「ピースひとつを固定して考える」方式で二本カット，三本カットも考えてきて，と．
すぐに解決すると思っていたけど，意外と難しい．

群論の味わい ?置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル?

スキーの力学，最適停止ゲーム，出会いの数理（４年ゼミ）

一人目，スキーの力学．
なかなか精密な力学モデルが展開されていたと思っていたが，
読んでいたテキスト，肝心なところが省略．
で，それに近い論文を二本ほど検索してあれこれ検討してきてもらうことに．
最後は数値シミュレーションとなってしまうのだけど，
さて，卒論ではどうしていこうかのぅ...

二人目，最適停止ゲーム．
こちらも読んでいるテキストの肝心な部分が省略で，路頭に迷いかける．
こちらも近そうな論文を探して何とか画策中だが，
扱うゲームが微妙に変わっていて，ちょいと悩む．あす，この続き．

三人目，出会いの数理．
こちらは普通にテキストを読んでいるのだが，
意味を考えて理解できる部分と単に数式として見たほうが良い部分とが，
慣れないとなかなか突破しにくい．
こちらも宿題を2,3残したまま次回に持ち越し．

タイミングの数理―最適停止問題 (シリーズ「現代人の数理」)