ライツアウトの数理，野球の統計学，倒立振子の制御工学（４年ゼミ）

一人目，ライツアウトの数理．
前回，サイズが偶数の場合で主結果が導かれることを見た．
今回は奇数の場合．キーになるのはFibonacci多項式の関係式 $p_{2n+1}(t)=tp_n(t)^2$ ．
そこで， $\sigma:n\mapsto 2n+1$ を考え， $n=\sigma^b(2s)$ について考えれば，固有多項式 $\Phi_n(\lambda)=p_n(\lambda+1)=(\lambda+1)^{2^b-1}\Phi_{2s}(\lambda)^{2^{b}}$
となるのが分かり，固有値1の重複度が $2^b-1$ ，残りの固有値の重複度が $2\cdot 2^b=2^{b+1}$ となり，すると
$T_n\sim J(1,2^b-1)\oplus J(\alpha_1,2^{b+1})\oplus\cdots\oplus J(\alpha_s,2^{b+1})$
が分かるので， $\mathbb{F}_2$ での特徴であるJordan細胞に関する性質 $J(\alpha,d)^{2^b}=\alpha^d E_d, 2^b\ge d$ が使える形になる．
さて，求めたかったのは ${\rm rank}(p_n(T_n))$ であったが， $p_n(t)=t^{2^b-1}p_{2s}(t)^{2^b}=t^{2^b-1}\nu_{2s}(t)^{2^{b+1}}$ に注意すれば，
$\begin{align*} p_n(T_n)\sim &(J(1,2^b-1)\oplus J(\alpha_1,2^{b+1})\oplus\cdots\oplus J(\alpha_s,2^{b+1}))^{2^b-1}\\ &\cdot \nu_{2s}( (J(1,2^b-1)\oplus J(\alpha_1,2^{b+1})\oplus\cdots\oplus J(\alpha_s,2^{b+1}))^{2^{b+1}} )\\ = &K(1,2^b-1)\oplus K(\alpha_1,2^{b+1})\oplus\cdots\oplus K(\alpha_s,2^{b+1})\\ &\cdot \nu_{2s}(E_{2^b-1}\oplus \alpha_1^{2^{b+1}}E_{2^{b+1}}\oplus\cdots\oplus \alpha_s^{2^{b+1}}E_{2^{b+1}})\\ = &\nu_{2s}(1)K(1,2^b-1)\oplus \nu_{2s}(\alpha_1)^{2^{b+1}}K(\alpha_1,2^{b+1})\oplus\cdots\oplus \nu_{2s}(\alpha_s)^{2^{b+1}}K(\alpha_s,2^{b+1}) \end{align*}$
となる．ただし， $K(\alpha,d)=J(\alpha,d)^{2^b-1}$ と置いた．
結局， ${\rm rank}(T_n)$ を制御するのは $p_n(\alpha)=0$ となる固有値 $\alpha$ の個数であり，前回同様の議論をすれば，
${\rm rank}(T_n)=n-\deg({\rm GCM}(p_n(t),p_n(t+1)))$
が導かれる．
本当は細かい場合分けが必要なところもあるが，大方この方向で証明が完結する．
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