ライツアウトの数理，野球の統計学（4年ゼミ）

一人目，ライツアウトの数理．
今回は三重対角行列 $T_d$ の固有多項式を考える．
$\mathbb{F}_2$ での話なので符号を機にする必要がないことに注意すれば，固有多項式 $\Phi_d(\lambda)=\det(T_d+\lambda E_d)$ の計算は，Lights Out行列 $A$ で ${\rm rank}$ を求めた方法と全く同じである．
つまり，行列 $B$ において， $T_d\to \lambda+1,\ E_d\to 1$ と置き換えてやれば，
$\Phi_d(\lambda)=p_d(\lambda+1)$
と求められる．また，このときに行った行基本変形の結果，対角線上に 1 が $d-1$ 個， $p_d(\lambda+1)$ が1個並ぶので，各固有値 $\lambda=\alpha_k$ ごとに，
$\dim(\ker(T_d+\lambda E_d))=1$
となることが分かる．すなわち，各固有値に対する固有空間の次元は1だと分かる．

ところで， $\mathbb{F}_2$ 係数のFibonacci多項式 $p_n(t)$ は， $\nu_0(t)=\nu_1(t)=1$ および漸化式
$\nu_{k+2}(t)=\begin{cases} \nu_{k+1}(t)+\nu_k(t),&\text{ $k$が奇数のとき,}\\ t\nu_{k+1}(t)+\nu_k(t),&\text{ $k$が偶数のとき,} \end{cases}$
によって定められる多項式 $\nu_k(t)$ を用いて，
$p_{k}(t)=\begin{cases} t(\nu_k(t))^2,&\text{ $k$が奇数のとき,}\\ (\nu_k(t))^2,&\text{ $k$が偶数のとき} \end{cases}$
と表されることが示される．更に， $\nu_k(t)=0$ は $\mathbb{F}_2$ の閉包において重解を持たず，分離的であることも示される．したがって偶数 $k=2d$ の場合， $p_{2d}(t)=0$ のすべての解は2重解のみであり， $\Phi_{2d}(\lambda)=p_{2d}(\lambda+1)=0$ の解である $T_{2d}$ の固有値も全て2重解のみとなる．
一方，各固有値の固有空間は1次元だったことと合わせると， $T_{2d}$ のJordan標準形は2次ブロックだけの直和に分解され，
$T_{2d}\sim J(\alpha_1,2)\oplus\cdots \oplus J(\alpha_d,2)$
となることが分かる．

さて以前示したように， $\mathbb{F}_2$ での特有な現象として $2^b\ge d$ ならば
$J(\alpha,d)^{2^b}=\alpha^{2^b}E_d$
となったのであった．すると
$T^2_{2d}\sim \alpha_1^2E_2\oplus\cdots \oplus\alpha_d^2E_2$
となり，つまり，
$\begin{align} p_{2d}(T_{2d})&=\nu_{2d}(T_{2d})^2=\nu_{2d}(T_{2d}^2)\sim \nu_{2d}(\alpha_1^2)E_2\oplus\cdots\oplus\nu_{2d}(\alpha_d^2)E_2\\ &\sim p_{2d}(\alpha_1)E_2\oplus\cdots\oplus p_{2d}(\alpha_d)E_2 \end{align}$
といった対角行列に相似になる．となると，
${\rm rank}(p_{2d}(T_{2d}))=2d-2\#\{\alpha_k\mid p_{2d}(\alpha_k)=0\}$
ということになるが，もともと $\alpha_k$ は固有値，すなわち $\Phi_{2d}(\lambda)=p_{2d}(\lambda+1)=0$ の解でもあったから結局，
$\begin{align} {\rm rank}(p_{2d}(T_{2d}))&=2d-2\#\{\alpha\mid p_{2d}(\alpha)=p_{2d}(\alpha+1)=0\}\\ &=2d-\deg({\rm GCD}(p_{2d}(t),p_{2d}(t+1))) \end{align}$
ということになる．こうして，まず $n=2d$ のLights Out行列 $A$ の ${\rm rank}(A)$ が決定できた．
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二人目，野球の統計学的な何か．
こちらも5/16以来のゼミとなり，5ヶ月以上が過ぎてしまった．
しかも，自分でなにか進めていてくれたわけでもなく，手遅れに近い．
今流行のセイバーメトリクス的な何かをしようとしているようだが，何しろ問題意識が定まっていない．
この状態は，本来9月上旬であるべきで，50日ほど間に合っていない計算になる．さてどうするかね．