ライツアウトの数理（4年ゼミ）

ライツアウトの数理．
今回は，まず Jordan標準形について調べてきてもらった．
一通りその仕組を納得してもらった後， $\mathbb{F}_2$ で起こる現象について，少しずつ話すことにした．
例えば， $\mathbb{F}_2$ 係数の行列 $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$ の固有方程式は $\lambda^2=0$ となるから 0 が重複度2の固有値となる． $A$ は対称行列なのだが，固有ベクトルは $\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ の一つしかない．したがって，対角化もできない，といったことが起こる．実際，この場合 Jordan標準形は $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ になる．

また，Jordan細胞のべき乗にも $\mathbb{F}_2$ ならではの現象が起こる．標数0の体では，固有値 $\lambda$ の $d$ 次元 Jordan細胞 $J(\lambda,d)$ のべき乗が
$J(\lambda,d)^n=\begin{pmatrix} \lambda^n & {n \choose 1}\lambda^{n-1} & {n\choose 2}\lambda^{n-2}& {n\choose 3}\lambda^{n-3}&\cdots\\ 0& \lambda^n & {n \choose 1}\lambda^{n-1} & {n\choose 2}\lambda^{n-2}& \cdots\\ 0&0& \lambda^n & {n \choose 1}\lambda^{n-1} & \cdots\\ 0&0&0& \lambda^n & \cdots\\ \end{pmatrix}$
となるが，これを $\mathbb{F}_2$ で考えると対角行列になることがある．実際 $n=2^b$ の場合，
$\displaystyle{n\choose k}=\frac{2^b}{k}\frac{2^b-1}{1}\frac{2^b-2}{2}\cdots\frac{2^b-k+1}{k-1}$
と変形すると， $s=2^e\cdot m, m:odd$ に対して $\frac{2^b-s}{s}=\frac{2^{b-e}-m}{m}$ と奇数/奇数の既約分数になるので， ${n\choose k}=\frac{2^b}{k}\cdot\frac{odd}{odd}$ と表され， $1\le k\le 2^b-1$ であれば ${n\choose k}\equiv0\pmod{2}$ ということになる．したがって， $2^b\ge d$ ならば $J(\lambda,d)^{2^b}=\lambda^{2^b}E_d$ となる．