ライツアウトの数理（4年ゼミ）

ライツアウトの数理．
$T_n, n=3\cdot2^h-1$ と ${}^t(e)=(\delta_{i2^h}),{}^t(f)=(\delta_{i2^{h+1}})$ に対して，
$T_n^{2^{h+1}}e=T_n^{2^{h+1}}f\equiv 0\pmod{2}$
がようやく本日解決．
まず，境界の影響を受けずに $T_n^{2^h}e=T_n^{2^h}f=e+f$ まで示されるので，これを利用すれば
$T_n^{2^{h+1}}(e+f)=2(e+f)\equiv0\pmod{2}$
となるからだ．
その際，キーになるのが係数 $A^{2^{h}}_m$ に現れる ${}_{2^h}C_k$ の偶奇性だった．
実際， $k=2^pq, 0\leq p < h,q：奇数$ と表して
$\displaystyle {}_{2^h}C_k=\frac{2^h}{2^pq}\cdot\frac{2^h-1}{1}\cdot\frac{2^h-2}{2}\cdots\frac{2^h-k+1}{k-1}$
と書くと，冒頭 $\displaystyle \frac{2^h}{2^pq}=\frac{2^{h-p}}{q}$ からは2冪が残る可能性があり，それ以降は， $l=2^ij, 0 \leq i < h,j：奇数$ において，
$\displaystyle \frac{2^h-l}{l}=\frac{2^{h-i}-j}{j}$
となるから，分母分子に2冪は一つも現れなくなる．
したがって， ${}_{2^h}C_k$ が奇数となるのは $k=0$ または $p=h$ すなわち $k=2^h$ のときのみ，となった．

$A^t_m$ は $(1+x+x^2)^t$ の $x^m$ の係数を表していた．
この係数はまた，無限次の三重対角 $T_\infty$ と， $v$ 行目のみ1で他は0とした無限次のベクトル $e_v$ を考えたとき，ベクトル $T_\infty^te_v$ の $(v-t+m)$ 行目の成分でもある．
しかし実際の行列 $T_n$ においては，1行目から $n$ 行目のみでその前後は切り取られてしまうため，永続的に $A^t_m$ が正確な係数を表すわけではない．
そこで， $f_v$ を $e_v$ の1行目から $n$ 行目まで抜き出した $n$ 次元ベクトルとして， $T^t_nf_v$ が $T^t_\infty e_v$ の1行目から $n$ 行目に一致していることを
$T^t_nf_v\sqsubset T^t_\infty e_v$
と表そう．この関係はつまり， $A_0^t,\dots,A_{2t}^t$ すべてが境界での切り落としの影響を受けないことであり，
$1\le v-t+0\le v-t+2t\le n$ すなわち $t+1\le v\le n-t$
が条件となろう．
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