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完全数（４年ゼミ）

ゼミ2023年度卒

ノルム完全数の探索．
今回， $p\equiv3\pmod{4}$ 型の奇数のみを因数に持つ数のノルム和の評価を見た．
結論としては，過剰数は無いということ．
$a=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_n^{e_n}, \quad p_i\equiv3\pmod{4}$
の $Z[i$ ] におけるノルム和 $\Gamma(a)$ と $a$ との比が
$\displaystyle\prod_{i=1}^n\frac{p_i^{2e_i+2}-1}{p_i^2-1}\Big/p_i^{e_i}=\prod_{i=1}^n\frac{1-\frac{1}{p_i^{2e_i}}}{1-\frac{1}{p_i^2}}<\prod_{i=1}^n\frac{1}{1-\frac{1}{p_i^2}}<\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}<2$
となって，不足数になってしまう．
ということで，次は $p\equiv1\pmod{4}$ を触ることになった．

初等整数論講義第2版

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作者:高木貞治
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初等整数論 ―数論幾何への誘い― (共立講座数学探検 6)

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