ライツアウトの数理，野球の統計学（４年ゼミ）

一人目，ライツアウトの数理．
固有値0が存在するときだけ，場合分けが必要なことを検討した．
$n=\sigma^b(2s)$ に対する固有多項式を
$\Phi_n(\lambda)=(\lambda+1)^{d_1}\lambda^{d_2}r(\lambda)^{d_2},\quad r(0)\neq0,r(1)\neq0,d_1=2^b-1,d_2=2^{b+1}$
と表せば，
$T_n\sim J(1,d_1)\oplus J(0,d_2)\oplus\left(\bigoplus_{\alpha_k\neq0,1}J(\alpha_k,d_2)\right)$
であり，したがって $p_n(t)=t^{d_1}(t+1)^{d_2}r(t+1)$ に注意すれば，
$\begin{align*} p_n(T_n)&\sim \left(J(1,d_1)\oplus J(0,d_2)\oplus\left(\bigoplus_{\alpha_k\neq0,1}J(\alpha_k,d_2)\right)\right)^{d_1}\\ &\quad\cdot\left((J(1,d_1)+E_{d_1})\oplus (J(0,d_2)+E_{d_2})\oplus\left(\bigoplus_{\alpha_k\neq0,1}(J(\alpha_k,d_2)+E_{d_2})\right)\right)^{d_2}\\ &\qquad\cdot r\left((J(1,d_1)+E_{d_1})\oplus (J(0,d_2)+E_{d_2})\oplus\left(\bigoplus_{\alpha_k\neq0,1}(J(\alpha_k,d_2)+E_{d_2})\right)\right)^{d_2}\\ &=\left(J(1,d_1)^{d_1}\oplus J(0,d_2)^{d_1}\oplus\left(\bigoplus_{\alpha_k\neq0,1}J(\alpha_k,d_2)^{d_1}\right)\right)\\ &\quad\cdot\left(J(0,d_1)^{d_2}\oplus J(1,d_2)^{d_2}\oplus\left(\bigoplus_{\alpha_k\neq0,1}J(\alpha_k+1,d_2)^{d_2}\right)\right)\\ &\qquad\cdot r\left(J(0,d_1)^{d_2}\oplus J(1,d_2)^{d_2}\oplus\left(\bigoplus_{\alpha_k\neq0,1}J(\alpha_k+1,d_2)^{d_2}\right)\right)\\ &=\left(K(1,d_1)\oplus K(0,d_2)\oplus\left(\bigoplus_{\alpha_k\neq0,1}K(\alpha_k,d_2)\right)\right)\\ &\quad\cdot\left(O_{d_1}\oplus E_{d_2}\oplus\left(\bigoplus_{\alpha_k\neq0,1}(\alpha_k+1)^{d_2}E_{d_2}\right)\right)\\ &\qquad\cdot r\left(O_{d_1}\oplus E_{d_2}\oplus\left(\bigoplus_{\alpha_k\neq0,1}(\alpha_k+1)^{d_2}E_{d_2}\right)\right)\\ &=O_{d_1}\oplus K(0,d_2)\oplus\left(\bigoplus_{\alpha_k\neq0,1}(\alpha_k+1)^{d_2}r(\alpha_k+1)^{d_2}K(\alpha_k,d_2)\right) \end{align*}$
とまとまる．ただし， $K(\alpha,d)=J(\alpha,d)^{d_1}$ と置いた．特に，
${\rm rank}(K(0,d_2) )={\rm rank}(J(0,d_2)^{d_1})=d_2-d_1$
であることに注意する．したがって，固有値1に対して（ $O_{d_1}$ によって） ${\rm rank}$ が $d_1$ 減り，更に固有値0に対して $d_1$ 減ることになり，固有値 0,1 に対する部分で ${\rm rank}$ が $2d_1$ 減ることになる．
一方， $p_n(t)$ と $p_n(t+1)$ は $t^{d_1}(t+1)^{d_1}$ を共通因数として持つので，共通因数の次数として $2d_1$ が加えられる．あとは $r(t)$ の部分に前回同様の議論をすれば，やはり主張が得られることが分かる．
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