完全数，ピタゴラス数，物理シミュレーション（４年ゼミ）

$Z[i$ ]での完全数．前回提案として，約数和は諦めて，ノルム和
$\Gamma(n)=\sum_{k|n}N(k)$
を考えることにした，そのつづき．
改めて見直すと， $\Gamma(n)$ も乗法的関数で，その源は $A.B$ が $Z[i$ ]で互いに素なら，
$\{(a.b)\mid a|A,b|B\}\ni (a,b)\mapsto ab\in\{m \mid m|n\}$
が全単射になること，ノルム $N(n)$ が乗法的であることにある．
また，
$\begin{align}\Gamma(p^n)&=1+p+2p^2+3p^3+\cdots+(n+1)p^n+np^{n+1}+(n-1)p^{n+2}+\cdots+p^{2n}\\ &=\left(\frac{p^{n+1}-1}{p-1}\right)^2\end{align}$
と決定されたので，これでノルム和について，色々と評価ができるだろう．
というところで，しばらくは実習と教採で休み．

初等整数論講義第2版

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初等整数論 ―数論幾何への誘い― (共立講座数学探検 6)

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$A^2+B^2-AB=C^2$ の整数解について．
前回，パラメータ表示で
$A=2lm-m^2,\ B=2lm-l^2,\ C=l^2+m^2-lm$
を得ていたが，互いに素な $(l,m)$ であっても， $A,B,C$ が既約でなくなる問題が起こっていた．
このパラメータ表示は楕円 $X^2+Y^2-XY=1$ と直線 $t(l,m)+(-1,0)$ との交点から得られるのだが，このとき
$t=\frac{l+m}{l^2+m^2-lm}$
において， $l+m\equiv0\pmod{3}$ のときだけ約分が発生し（実際には3で約分），そのとき消える3が $A,B,C$ の公約数として出てきてしまうことがどうやら分かった．
一度，ここまでの話をまとめてもらおう．