一人目，ライツアウトの数理． 前回，サイズが偶数の場合で主結果が導かれることを見た． 今回は奇数の場合．キーになるのはFibonacci多項式の関係式 ． そこで， を考え， について考えれば，固有多項式 となるのが分かり，固有値1の重複度が ，残りの固有…

ノルム完全数の探索． 今回， 型の奇数のみを因数に持つ数のノルム和の評価を見た． 結論としては，過剰数は無いということ． の ] におけるノルム和 と との比が となって，不足数になってしまう． ということで，次は を触ることになった．初等整数論講義 …

一人目，キューブ群． 交換子利用の覚えやすい手順による解法の探求． ,Y=[U^{-1},L^{-1}]] を主に使うやり方では，どうしても2面体の扱いが複雑になりがち． そこで割り切って，3面体では によって，2面体は例えば などの2面体だけを動かす操作で揃えること…

一人目，ライツアウトの数理． 今回は三重対角行列 の固有多項式を考える． での話なので符号を機にする必要がないことに注意すれば，固有多項式 の計算は，Lights Out行列 で を求めた方法と全く同じである． つまり，行列 において， と置き換えてやれば，…

完全数探し．なんとこちらは5/26以来で5ヶ月ぶりのゼミ再開である． ただ偉いのは，自分で探究活動を続けていたこと． 実際，本日のゼミでもこの休み期間中の進捗報告をしてくれたし，LaTeXも順調に書き加えているようだ． まぁ，これが本来のゼミの姿だよな…

一人目，キューブ群．検討してきた交換子 による手順の作成の続き． 例えば3面体だけのキューブであれば，これら交換子の特徴を活かして，1面から順に揃えたりしない方法が作れるかもしれない，と試みた．が，かえって手順が増えるし，実際に行うには複雑す…

ライツアウト行列の rank を巡って． ノイマン近傍型にライトのon/offを切り替えるこのゲームの操作は，Lights Out行列 と表される．求めたいのは だ．ただし， は 係数の三重対角行列 はそれぞれ，次単位行列とゼロ行列である． を求める代わりに，はじめの…

結晶群．残っていた，正20面体群の決定まで終了． さて，この先どうするか，ということになったが，結晶群ではなく，高次元の正胞体を数える方向でやってみることになった． とりあえず， の有限部分群の決定方法を参考に， で同じことをやってみる． 答えは…

キューブ群．オリジナルの手順を見つける話の続き． 交換子 （と少量の基本操作）の組み合わせで手順を構成する話には，ひとしきり出来上がった．ただ，手数が多すぎ．この先は，手数を減らす方法を考えたい．例えば，現行は完全一面から始めて下から順にす…

ライツアウトの数理． 今回は，まず Jordan標準形について調べてきてもらった． 一通りその仕組を納得してもらった後， で起こる現象について，少しずつ話すことにした． 例えば，係数の行列 の固有方程式は となるから 0 が重複度2の固有値となる． は対称…

一人目，結晶群． の有限部分群の決定その２． 今日は2面体群～８面体群まで．残るは正２０面体群．文様の幾何学―文様における群作用と対称性作者:川崎 徹郎牧野書店Amazon 二人目，キューブ群．オリジナルの手順を見つける話の続き． よくやるよ，というぐ…

ライツアウトの数理も再開． 前期までは何とかしてが2項からなる場合だけでも解決できないかと悩んでいたが，この夏にあれこれ考えてみて，任意次数のライツアウトに対してのが決定できることが分かった．そのポイントとなる仕組みが，Fibonacci多項式である…

ようやく，ゼミ再開． 一人目，キューブ群． 完成形に至る手順の考察．今回はツクダ式と呼ばれる揃え方について． 汎用的な手順を5つ用意し，あらゆるパターンをそれらの手順が使える配置に直すことで完成させる． こういった方法，キューブ群のCayley graph…

ライツアウトの数理． とに対して， がようやく本日解決． まず，境界の影響を受けずにまで示されるので，これを利用すれば となるからだ． その際，キーになるのが係数に現れるの偶奇性だった． 実際，と表して と書くと，冒頭からは2冪が残る可能性があり…

ピタゴラス数．の整数解については，ほぼ見通しがたった． そこで，このあとどう展開していくか，なのだが，例えばに由来する整数解探しなどを提案した． などでは有理点がないのでそもそも議論から外れるが，のときなど，まだまだ遊べそうな話題じゃないだ…

ライツアウト． 壁問題がちっとも突破できず停滞中だが，やはり一斉に０になる行の様子がキーになる気がしてきた． 例えば次元の三重対角行列に対してを とおけば，が図から予想され，さらに が独立な組であることも見て取れる．つまり，ということだ． いず…

ピタゴラス数．変換行列探しと進んだのだが，そもそも元のピタゴラス行列をどう見つけたのか，から入らないといけない．が，一体どうやって， だとか なんて行列を見つけたのかが分からない．ということで，今日はその気持を探る時間となった． あれこれ議論…

ライツアウト．境界がない状態での係数の挙動ははっきりしたのだけど，問題は境界で強制的に0になる場合だ． この影響はどうしても境界から内側へと次第に広がってくる． そうなると単純な代数操作では追えなくなってくる． ただ，本当に知りたいのは「細中…

結晶群． 前回うやむやになった，立方体の合同変換群の構造決定． を半直積で表示してみた． クライン群にが作用して交代群，そこにが作用してということだった． つぎは正20面体群（正12面体群）なのだが，進むのかな？文様の幾何学―文様における群作用と対…

ピタゴラス数．ここまでの話を一度整理してもらって，再度，既約でなくなる問題を検討． 結局，表示 から共通因数の有無を確認せず， としてしまったことに問題が有ったわけで，ならば とおいて， としてしまえば，さしあたり良いかと． そうはいっても，結…

ライツアウト．の決定のつづき． 前回の細「中」と「中」の和としてを観察すると，より1つ落ちていることが分かる． で，どうやって細「中」や「中」になることを示すか，という問題になるが，いっそのこと，一度境界のないcell automatonとしてどんな模様に…

ののつづき． よく見ると，それぞれ，特徴的な「中」字型になる一歩手前の図形になっている． そこで作戦として， の特徴を捉えてある程度行基本変形を行って，が以上であることを言う．これは少し頑張ると言えそうな感じだった． 一方，は「中」字型の重ね…

]での完全数．前回提案として，約数和は諦めて，ノルム和 を考えることにした，そのつづき． 改めて見直すと，も乗法的関数で，その源はが]で互いに素なら， が全単射になること，ノルムが乗法的であることにある． また， と決定されたので，これでノルム和…

結晶群．具体的対象で多面体群を見る． 上がった例はともに半直積で表されるので，その決定をあれこれ検討した． 四面体群はで，Kleinの四元群との半直積だったね． 来週からはしばらくオンライン．文様の幾何学―文様における群作用と対称性作者:川崎 徹郎牧…

ライツアウト．が2項からなる特殊な場合のを求めるべく格闘中． そのようなは のみであることまでは分かっている．また，のがどうなるかも分かっている． が，これらを2つ足した途端，よく分からなくなる． そうなると，具体的にEXCELなんかでを作って観察す…

完全数．]での完全数探しなのだが，よくよく見るとたとえば なので，約数和をとるときの任意性の問題が生まれることに気づく． で，それを避けようと約数は常に偏角がに移動させて和を取る，などとやってみたのだが，そうすると約数和関数の数論的性質が消え…

結晶群．線形変換に限定して話を進める． 途中，行列の積の行列式が分解することの説明で遊ぶ． 多面体を普遍にする回転対称群の例について，一つ見た．文様の幾何学―文様における群作用と対称性作者:川崎 徹郎牧野書店Amazon キューブ群．前回の半直積の交…

ライツアウト．これからは卒論の先へ進もうとしている． まずはを手探りで計算． やっていくと，やはり三重対角 のべき乗の情報が欲しくなるが，それは各行ごとに隣接3セルの和 による時間発展するセル・オートマトンを考えていることになる． このとき生ま…

完全数． ]での完全数探しをしている．前回]の素元を特定した． 2が素元分解できることによって，例えば偶数は全部過剰数だろう，という予想が立つ． が，なかなか証明ができない．落ち着いて複素部分の挙動をよく見る必要がある．初等整数論講義 第2版作者:…

キューブ群．もう少し群構造の観察． 半直積表示された群の交換子群のところで疑義が生じ，そこで停止．群論の味わい －置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル－作者:David Joyner共立出版Amazon 結晶群．原点を固定しない合同変換群で考えてきた…